Об устойчивости и непрерывной зависимости от параметра множества точек совпадения двух отображений, действующих в пространство с расстоянием

Рассматривается задача о точках совпадения двух отображений ψ, φ , действующих из метрического пространства (X, ρ) в пространство (Y, d), в котором расстояние d обладает лишь одним из свойств метрики: d( y1 , y2 )=0⇔ y1 = y2 , и не предполагается ни симметричным, ни удовлетворяющим неравенству треугольника. Исследуется вопрос о корректности уравнения ψx =φ(x), определяющего точку совпадения. Показано, что если x=ξ - решение этого уравнения, то для любой последовательности α i -накрывающих отображений ψ i :X→Y и любой последовательности β i -липшицевых отображений φ i :X→Y, α i > β i ≥0, в случае сходимости d( φ i (ξ), ψ i (ξ))→0 уравнение ψ i (x)= φ i (x) при любом i обладает решением x= ξ i таким, что ρ( ξ i ,ξ)→0 . Далее в статье исследуется зависимость от параметра t - элемента топологического пространства T множества Coin(t) точек совпадения отображений ψ(·, t),φ(·, t):X→Y. В предположении, что первое из этих отображений является -накрывающим, второе - β -липшицевым, получено утверждение о полунепрерывности сверху, полунепрерывности снизу и непрерывности многозначного отображения Coin:T⇒ X.

корректность уравнения, непрерывная зависимость от параметра, точка совпадения двух отображений, расстояние, накрывающее отображение

1. Г.М. Вайникко, “Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 16, ВИНИТИ, М., 1979, 5-53.

2. Z. Artstein, “Continuous dependence of solutions of operator equations. I”, Trans. Amer. Math. Soc., 231:1 (1977), 143-166.

3. Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра”, Матем. сб., 197:10 (2006), 33-56.

4. А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “О глобальной разрешимости нелинейных уравнений с параметрами”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 496 (2021), 68-72.

5. А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Глобальная и полулокальная теоремы о неявной и об обратной функции в банаховых пространствах”, Матем. сб., 213:1 (2022), 3-45.

6. А.В. Арутюнов, “Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений”, Математические заметки, 86:2 (2009), 163-169.

7. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “On the stability of fixed points and coincidence points of mappings in the generalized Kantorovich’s theorem”, Topology and its Applications, 275 (2020).

8. Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский матемтический журнал, 12:4 (2020), 42-55.

9. Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций”, Дифференциальные уравнения, 58:1 (2022), 93-104.

10. L. Narici, E. Beckenstein, Topological Vector Spaces, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 296, 2nd ed., Taylor & Francis Group, New York, 2011, 628 pp.

11. А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “Теория (q1, q2)-квазиметрических пространств и точки совпадения”, Докл. РАН., 469:5 (2016), 527-531.

12. А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “-квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3-32.

13. Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338-1350.

14. A.V. Arutyunov, A.V. Greshnov, L.V. Lokoutsievskii, K.V. Storozhuk, “Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric -quasimetrics”, Topology and its Applications, 221 (2017), 178-194.

15. З.Т. Жуковская, С.Е. Жуковский, Р. Сенгупта, “О точных неравенствах треугольника в -квазиметрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 24:125 (2019), 33-38.

16. В. Мерчела, “К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 65-73.

17. Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 26:4 (2020), 52-63.

18. D. Doitchinov, “On completeness in quasi-metric spaces”, Topology and its Applications, 30:2 (1988), 127-148.

19. А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155.

20. А.В. Арутюнов, “Точки совпадения двух отображений”, Функц. анализ и его прил., 48:1 (2014), 89-93.

21. С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52-63.

22. А.В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, Физматлит, М., 2014.

23. Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, Либроком, М., 2011.

24. Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О непрерывной зависимости от параметра множества решений операторного уравнения”, Изв. ИМИ УдГУ, 54 (2019), 27-37.