Функции Эрмита и скалярное произведение в пространстве Соболева

Рассмотрим ортогональную систему Эрмита четного индекса, определенную на формулой где через обозначен полином Эрмита степени . В данной работе рассматривается обобщенная система с , , ортогональная относительно скалярного произведения Соболевского типа на с и порожденная системой . Основной целью работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой , Изучаются условия на функцию , заданную в обобщенной ортогональной системе Эрмита, достаточные для ее разложения в обобщенный смешанный ряд Фурье, а также сходимость этого ряда Фурье. Второй результат статьи — доказательство рекуррентной формулы для системы . Также обсуждаются асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительную часть работы.

скалярное произведение, пространство Соболева, многочлены Эрмита

1. I.I. Sharapudinov, "Approximation of functions of variable smoothness by Fourier-Legendre sums", Sb. Math., 191:5 (2000), 759-777.

2. I. Sharapudinov, Mixed Series of Orthogonal Polynomials, Daghestan Sientific Centre Press, Makhachkala, 2004.

3. I.I. Sharapudinov, "Approximation properties of mixed series in terms of Legendre polynomials on the classes W^r", Sb. Math., 197:3 (2006), 433-452.

4. I.I. Sharapudinov, "Sobolev orthogonal systems of functions associated with an orthogonal system", Izv. Math., 82:1 (2018), 212-244.

5. M.A. Boudref, "Inner product and Gegenbauer polynomials in Sobolev space", Russian Universities Reports. Mathematics, 27:138 (2022), 150-163.

6. M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1-st ed., Dover Publications, USA, 1964.

7. G. Szego, Orthogonal Plynomials. V. 23, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1975, 432 pp.

8. V. Smirnov, Higher Mathematics Courses. V. III, Mir Publ., Moscow, 1972 (In French).

9. R. Askey, S. Wainger, "Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series", American Journal of Mathematics, 87 (1965), 698-708.

10. B. Muckenhoupt, "Mean convergence of Hermite and Laguerre series. II", Transactions of the American Mathematical Society, 147:2 (1970), 433-460.