Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве

Настоящая работа посвящена исследованию алгеб\-ро-диф\-фе\-рен\-циаль\-ного\linebreak уравнения
\begin{equation*}
A\frac{d^2u}{dt^2}=B\frac{du}{dt}+Cu(t)+f(t),
\end{equation*}
где $A,$ $B,$ $C$ --- замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2,$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом (далее, фредгольмов), функция $f(t)$ принимает значения в $E_2$; $t\in[0;T]$. Ядро оператора $A$ полагается одномерным. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции, заключающийся в пошаговом расщеплении уравнения и условий к соответствующим уравнениям и условиям в подпространствах меньших размерностей. Рассматриваются одношаговое и двухшаговое расщепления, получены теоремы о разрешимости уравнения. Теоремы применяются для получения условий существования решения задачи Коши. Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, решается однородная задача Коши с заданными операторными коэффициентами в пространстве $\mathbb{R}^2$. Для этого рассматривается разрешенное дифференциальное уравнение второго порядка в конечномерном пространстве $\mathbb{C}^m$
\begin{equation*}
\frac{d^2u}{dt^2}=H\frac{du}{dt}+Ku(t).
\end{equation*}
Исследуется характеристическое уравнение $M(\lambda):=\det(\lambda^2 I-\lambda H-K)=0$. Для многочлена $M(\lambda)$ в случае $m=2,$ $m=3$ получены формулы Маклорена. Определено общее решение уравнения в случае единичной алгебраической кратности характеристического уравнения.

алгебро-дифференциальный, уравнение второго порядка, фредгольмов оператор, банахово пространство, разрешение, задача Коши

1. Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, Операторные методы в линейной гидродинамике, Наука, М., 1989. [N.D. Kopachevsky, S.G. Krein, Ngo Zuy Kan, Operator Methods in Linear Hydrodynamics, Nauka Publ., Moscow, 1989 (In Russian)].

2. R.C. Dorf, R.H. Bishop, Modern Control Systems, Pearson Education International, England, 2008.

3. M.M. Cavalcanti, V.N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira, “Existence and uniform decay for a non-linear viscoelastic equation with strong damping”, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 24 (2001), 1043–1053.

4. М.Н. Ботороева, О.C. Будникова, Л.C. Соловарова, “О выборе краевых условий для дифференциально-алгебраических уравнений второго порядка”, Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика, 2019, №3, 32–41. [M.N. Botoroeva, O.S. Budnikova, L.S. Solovarova, “On the choice of boundary conditions for second-order differential-algebraic equations”, BSU Bulletin. Mathematics, Informatics, 2019, №3, 32–41].

5. С.С. Орлов, “Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах”, Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика», 2:1 (2009), 328–332. [S.S. Orlov, “Continuous solutions of a second-order degenerate integro-differential equation in Banach spaces”, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2:1 (2009), 328–332].

6. В.И. Усков, “Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка относительно производной”, Вестник российских университетов. Математика, 26:136 (2021), 414–420. [V.I. Uskov, “Solving a second-order algebro-differential equation with respect to the derivative”, Russian Universities Reports. Mathematics, 26:136 (2021), 414–420].

7. С.М. Никольский, “Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах”, Известия Академии Наук СССР. Серия математическая, 7:3 (1943), 147–166. [S. Nikolsky, “Linear equations in normed linear spaces”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 7:3 (1943), 147–166].

8. С.П. Зубова, В.И. Усков, “Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай”, Математические заметки, 103:3 (2018), 393–404; англ. пер.: S.P. Zubova, V.I. Uskov, “Asymptotic Solution of the Cauchy Problem for a First-Order Equation with a Small Parameter in a Banach Space. The Regular Case”, Mathematical Notes, 103:3 (2018), 395–404.