О существовании предела средней временной выгоды в вероятностных моделях сбора возобновляемого ресурса

Исследуются модели динамики популяций, заданные разностными уравнениями со случайными параметрами. При отсутствии промысла развитие популяции в моменты времени $k=1,2,\ldots$ описывается уравнением $X(k+1)=f\big(X(k)\big),$ где $X(k)$~--- количество возобновляемого ресурса, $f(x)$~--- вещественная дифференцируемая функция. Предполагается, что в моменты $k=1,2,\ldots$ происходит изъятие случайной доли популяции $\omega\in[0,1].$ Процесс эксплуатации прекращается, когда в момент $k$ доля собранного ресурса окажется больше некоторого значения $u(k)\in[0,1),$ чтобы сохранить часть популяции для воспроизводства и увеличения размера следующего сбора. При этом доля добываемого ресурса будет равна $\ell(k)=\min\big\{\omega(k),u(k)\big\}, k=1,2,\ldots.$ Тогда модель эксплуатируемой популяции имеет вид X(k+1)=f((1-l(k) )X(k) ),k=1,2,..., где $x(0)$ - начальная численность популяции, $X(1)=f\big(x(0)\big).$
Для стохастической модели популяции исследуется задача выбора управления $\overline{u}=(u(1),\ldots,u(k),\ldots),$ ограничивающего в каждый момент времени $k$ долю собираемого ресурса, при котором предел функции средней временной выгоды H(l¯,x(0))≐limn→∞∑k=1nX(k)l(k), где l¯≐(l(1),…,l(k),…)
существует и его можно оценить снизу с вероятностью единица по возможности наибольшим числом. Если уравнение $X(k+1)=f\big(X(k)\big)$ имеет решение вида $X(k)\equiv x^*,$\linebreak то это решение называется положением равновесия данного уравнения. Для любого\linebreak $k=1,2,\ldots$ вводятся в рассмотрение случайные величины $A(k+1,x)=f\bigl((1-\ell(k))A(k,x)\bigr),$ $B(k+1,x^*)=f\bigl((1-\ell(k))B(k,x^*)\bigr)$; здесь $A(1,x)=f(x),$ $B(1,x^*)=x^*.$
Показано, что при выполнении определенных условий существует управление $\overline{u},$ при котором справедлива оценка средней временной выгоды 1m∑k=1mM(A(k,x)l(k))≤H(l¯,x(0))≤1m∑k=1mM(B(k,x*)l(k)), где через $M$ обозначено математическое ожидание.
Кроме того, получены условия существования управления $\overline{u},$ при котором с вероятностью единица существует положительный предел средней временной выгоды, равный
H(ℓ¯,x(0))=<br/>limk→∞MA(k,x)ℓ(k)=<br/>limk→∞MB(k,x*)ℓ(k).\vspace-1exH(\overline{\ell},x(0)) =<br />\lim\limits_{k\to\infty} MA(k,x)\ell(k) =<br />\lim\limits_{k\to\infty} MB(k,x^*)\ell(k).\vspace{-1ex}

подверженная промыслу стохастическая модель популяции, средняя временная выгода, оптимальная эксплуатация

1. C.W. Clark, “Mathematical Bioeconomics”, Mathematical Problems in Biology. V. 2, Lecture Notes in Biomathematics, ed. S. Levin, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1974, 29–45.

2. B. Dennis, “Allee effects: population growth, critical density, and the chance of extinction”, Natural Resource Modeling, 3:4 (1989), 481–538.

3. A.M. Parma, “Optimal harvesting of fish populations with non-stationary stock-recruitment relationships”, Natural Resource Modeling, 4:1 (1990), 39–76.

4. A.O. Belyakov, V.M. Veliov, “On optimal harvesting in age-structured populations”, Dynamic Perspectives on Managerial Decision Making. V. 22: Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance, eds. H. Dawid, K. F. Doerner, G. Feichtinger, P. M. Kort, A. Seidl, Springer Cham, Switzerland, 2016, 149–166.

5. А.В. Егорова, Л.И. Родина, “Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса из структурированной популяции”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 29:4 (2019), 501–517. [A.V. Egorova, L.I. Rodina, “On optimal harvesting of renewable resource from the structured population”, The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 29:4 (2019), 501–517 (In Russian)].

6. W.J. Reed, “The steady state of a stochastic harvesting model”, Mathematical Biosciences, 41:3-4 (1978), 273–307.

7. R. Lande, S. Engen, B.E. Saether, Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation, Oxford University Press, New York, 2003, 212 pp.

8. S.J. Schreiber, M. Benaim, K.A.S. Atchadґe, “Persistence in fluctuating environments”, Journal of Mathematical Biology, 62:5 (2011), 655–683.

9. O. Tahvonen, M.F. Quaas, R. Voss, “Harvesting selectivity and stochastic recruitment in economic models of age-structured fisheries”, Journal of Environmental Economics and Management, 92 (2018), 659–676.

10. B. Yang, Y. Cai, K. Wang, W. Wang, “Optimal harvesting policy of logistic population model in a randomly fluctuating environment”, Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 526 (2019), Article ID 120817.

11. A. Hening, K.Q. Tran, T.T. Phan, G. Yin, “Harvesting of interacting stochastic populations”, Journal of Mathematical Biology, 79:2 (2019), 533–570.

12. Л.И. Родина, “Об одной стохастической модели сбора возобновляемого ресурса”, Вестник российских университетов. Математика, 23:124 (2018), 685–695. [L.I. Rodina, “About one stochastic harvesting model of a renewed resourse”, Russian Universities Reports. Mathematics, 23:124 (2018), 685–695 (In Russian)].

13. А.А. Родин, Л.И. Родина, А.В. Черникова, “О способах эксплуатации популяции, заданной разностным уравнением со случайными параметрами”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 32:2 (2022), 211–227. [A.A. Rodin, L.I. Rodina, A.V. Chernikova, “On how to exploit a population given by a difference equation with random parameters”, The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 32:2 (2022), 211–227 (In Russian)].

14. T. Upmann, S. Behringer, “Harvesting a remote renewable resource”, Theoretical Ecology, 13:4 (2020), 459–480.

15. M. Liu, “Optimal Harvesting of Stochastic Population Models with Periodic Coefficients”, Journal of Nonlinear Science, 32:2 (2022), 1–14.

16. Л.И. Родина, “Оптимизация средней временной выгоды для вероятностной модели популяции, подверженной промыслу”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 28:1 (2018), 48–58. [L.I. Rodina, “Optimization of average time profit for a probability model of the population subject to a craft”, The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 28:1 (2018), 48–58 (In Russian)].

17. Л.И. Родина, “Свойства средней временной выгоды в стохастических моделях сбора возобновляемого ресурса”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 28:2 (2018), 213–221. [L.I. Rodina, “Properties of average time profit in stochastic models of harvesting a renewable resource”, The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 28:2 (2018), 213–221 (In Russian)].

18. А.Н. Ширяев, Вероятность-1, Наука, М., 1989. [A.N. Shiryaev, Probability-1, Nauka Publ., Moscow, 1975 (In Russian)].

19. Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет, Устойчивость биологических сообществ, Наука, М., 1978. [Yu.M. Svirezhev, D.O. Logofet, Stability of Biological Communities, Nauka Publ., Moscow, 1978 (In Russian)].

20. B. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, 2, Мир, М., 1984. [V. Feller, Introduction to Probability Theory and its Applications, 2, Mir Publ., Moscow, 1984 (In Russian)].