Об исследовании задачи Неймана для эллиптических систем двух уравнений шестого порядка на плоскости

Как известно, на основе применения методов теории сингулярных интегральных уравнений были получены тонкие результаты в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В настоящей работе изучается вопрос о разрешимости задачи Неймана для эллиптической системы двух уравнений шестого порядка с двумя независимыми переменными по ограниченной области. При исследовании данной задачи используется метод, разработанный Б. Боярским, суть которого заключается в построении матричной функции по главной части системы и разбиении полиномов на гомотопические классы. С помощью этого подхода нами показана эллиптичность рассматриваемой системы. Также показано, что в соответствии с гомотопическими классами эллиптическая система двух уравнений с двумя независимыми переменными шестого порядка эквивалентным образом приводится к сингулярному интегральному уравнению по ограниченной области. Методом перехода к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению найдены эффективные условия нетеровости и получена формула для вычисления индекса изучаемой задачи.

эллиптическая система, задача Неймана, сингулярные интегральные уравнения, нетеровость, индекс задачи

1. Г. Джангибеков, “Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем уравнений на плоскости”, Докл. РАН, 330:4 (1993), 415–419.

2. М.И. Вишик, “О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 29(71):3 (1951), 615–676.

3. А.В. Бицадзе, “Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными”, УМН, 3:6(28) (1948), 211–212.

4. А.В. Бицадзе, “Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка”, Докл. АН СССР, 112:6 (1957), 983–986.

5. А.В. Бицадзе, “Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа”, Сообщения АН ГрузССР, 5:8 (1944), 761–770.

6. А.В. Бицадзе, Уравнения смешанного типа, Наука, М., 1959.

7. И.Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, ФИЗМАТГИЗ, М., 1959.

8. И.Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических уравнений, ГОСТЕХИЗДАТ, М., 1959.

9. Б.В. Боярский, “О задаче Дирихле для системы уравнений эллиптического типа в пространстве”, Бюлл. Польской АН. Серия матем. астр. и физ. наук, 8:1 (1960), 1050–1052.

10. Б.В. Боярский, “Некоторые граничные задачи для системы уравнений эллиптического типа”, Докл. АН СССР, 124:1 (1959), 1–4.

11. А.И. Вольперт, “Об индексе задачи Дирихле”, Изв. вузов. Матем., 1960, №5, 40–42.

12. В.И. Шевченко, “О совпадении индексов задач Дирихле и Неймана для эллиптических систем”, Докл. АН СССР, 221:5 (1975), 1050–1052.

13. В.И. Шевченко, “Об одной краевой задаче для вектора, голоморфного в полупространстве”, Докл. АН СССР, 154:2 (1964), 276–278.

14. В.И. Шевченко, “Об эллиптических системах трех уравнений с четырьям независимыми переменными”, Докл. АН СССР, 210:6 (1973), 1300–1302.

15. В.И. Шевченко, “Об одном интегральном представлении вектора, голоморфного в шаре”, Докл. АН СССР, 153:6 (1963), 1276–1279.

16. Я.Б. Лопатинский, “Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям”, Укр. матем. журн., 5:123 (1953), 1127–1131.

17. А.Д. Джураев, Метод сингулярных интегральных уравнений, Наука, М., 1987.

18. Г. Джангибеков, “О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах”, Матем. заметки, 46:5 (1989), 91–93.

19. Г. Джангибеков, “Нётеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов”, Изв. вузов. Матем., 1991, №1, 19–28.

20. Г. Джангибеков, “О нётеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами”, Изв. вузов. Матем., 1992, №9, 25–37.

21. Г. Джангибеков, “О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области”, Докл. РАН, 383:1 (2002), 7–9.

22. Г. Джангибеков, Д. М. Одинабеков, “К теории нетера двумерных сингулярных операторов и ее приложения к краевым задачам для эллиптических систем уравнений четвертого порядка”, Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 26:1 (2020), 7–13.

23. Г. Джангибеков, Д.М. Одинабеков, Г.Х. Худжаназарова, “Об условиях нётеровости и индексе одного класса сингулярных интегральных операторов по ограниченной односвязной области”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2019, №2, 9–14.

24. Г. Джангибеков, Г. Худжаназарова, “О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области”, Докл. РАН, 396:4 (2004), 449–454.

25. Г. Джангибеков, Г. Худжаназарова, “О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости”, Докл. РАН, 398:2 (2004), 151–155.

26. П.Т. Дыбов, “О разрешимости первой краевой задачи для дифференциального уравнения эллиптического типа шестого порядка”, Докл. АН СССР, 202:6 (1972), 1251–1253.