О решениях типа «кольцо» уравнений нейронного поля

В работе исследуется интегро-дифференциальное уравнение с интегральным оператором типа Гаммерштейна следующего вида:
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\partial_tu(t,x)=-\tau u(t,x,x_\mathrm{f})+\int\limits_{\mathbb{R}^2}
\omega(x-y)f(u(t,y)) dy, \
\ t\geq0,\ x\in \mathbb{R}^2.
\end{array}
\end{equation*}
Данное уравнение формализует динамику распределения электрических потенциалов $u(t,x)$ в плоской нейронной среде и носит название уравнения нейронного поля. Изучаются решения типа "кольцо", представляющие собой стационарные радиально симметричные решения, отвечающие состоянию активности нейронной среды в некоторой области, ограниченной двумя концентрическими окружностями, и состоянию покоя нейронного поля за пределами данной области. В работе предлагаются условия существования решений-колец, а также метод их приближенного численного нахождения. Используемые подходы основываются на замене в уравнении нейронного поля вероятностной функции $f$ активации нейронов, имеющей сигмоидальную форму, функцией типа Хевисайда. Теоретическая часть работы сопровождается примером, иллюстрирующим процедуру исследования решений типа "кольцо" уравнения нейронного поля, содержащего типично используемую в математической нейробиологии функцию межнейронной связи, позволяющую учитывать как возбуждающие, так и тормозящие взаимодействия нейронов. Подобно случаю решений-бампов (стационарных решений уравнения нейронного поля, отвечающих активации области нейронного поля, представляющей собой внутренность некоторой окружности), при высоких значениях порога активации нейронов имеет место одновременное существование двух решений - так называемых "широкого кольца" и "узкого кольца", сливающихся вместе при критическом значении порога активации нейронов, при превышении которого решений-колец не существует.

двумерное уравнение нейронного поля, решение типа «кольцо», существование решений, приближенное построение решений

1. E. Burlakov, “On inclusions arising in neural field modeling”, Differential Equations and Dynamical Systems, 29 (2021), 765–787.

2. E.O. Burlakov, T.V. Zhukovskaya, E.S. Zhukovskiy, N.P. Puchkov, “On Continuous and Discontinuous Models of Neural Fields”, Journal of Mathematical Sciences, 259:3 (2021), 272–282.

3. S. Amari, “Dynamics of pattern formation in lateral-inhibition type neural fields”, Biological Cybernetics, 27 (1977), 77–87.

4. C.R. Laing, W.C. Troy, “Two-bump solutions of Amari-type models of neuronal pattern formation”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 178 (2003), 190–218.

5. C.R. Laing, W.C. Troy, B. Gutkin, G.B Ermentrout, “Multiple bumps in a neuronal network model of working memory”, SIAM Journal on Applied Mathematics, 63 (2002), 62–97.

6. S. Coombes, “Waves, bumps, and patterns in neural field theories”, Biological Cybernetics, 93 (2005), 91–108.

7. P. Bressloff, “Spatiotemporal dynamics of continuum neural fields”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 45:3 (2011), 033001.

8. C.R. Laing, W.C. Troy, “PDE methods for non-local models”, SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2:3 (2003), 487–516.

9. S. Kishimoto, S. Amari, “Existence and stability of local excitations in homogeneous neural fields”, Journal of Mathematical Biology, 7 (1979), 303–318.

10. A. Oleynik, A. Ponosov, J. Wyller, “On the properties of nonlinear nonlocal operators arising in neural field models”, Journal Mathematical Analysis and Application, 398 (2013), 398–351.

11. E. Burlakov, J. Wyller, A Ponosov, “Stationary solutions of continuous and discontinuous neural field equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 444:1 (2016), 47–68.

12. S.E. Folias, P.C. Bressloff, “Breathers in two-dimensional neural media”, Physical Review Letters, 95 (2005), 208107.

13. M.R. Owen, C.R. Laing, S. Coombes, “Bumps and rings in a two-dimensional neural field: splitting and rotational instabilities”, New Journal of Physics, 9 (2007), 378.

14. Е.О. Бурлаков, М.А. Насонкина, “О связи непрерывных и разрывных меделей нейронных полей с микроструктурой: I. Общая теория”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 17–30.

15. Е.О. Бурлаков, И.Н. Мальков, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: II. Радиально симметричные стационарные решения в 2D («бампы»)”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 6–17.