О проблеме существования неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображения

Обсуждается остающийся до сих пор не решенным поставленный в [S. Reich, Some Fixed Point Problems, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194--198] вопрос о существовании в полном метрическом пространстве $X$ неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображения $\Phi:X \rightrightarrows X,$ имеющего замкнутые значения $\Phi(x)\subset X$ при всех $x \in X.$ Обобщенное сжатие понимается как естественное распространение определения Браудера--Красносельского этого свойства на многозначные отображения:
\begin{equation*} \label{Sha}
\forall x,u \in X \ \ h\bigl(\varphi(x),\varphi(u)\bigr) \leq \eta\bigl(\rho(x,u)\bigr),
\end{equation*}
где функция $\eta: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ $ возрастает, непрерывна справа и
для всех $d > 0$ выполнено $\eta(d)<d$ (символом $h(\cdot,\cdot)$ обозначено расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве $X\!$). Приводится описание полученных в литературе
утверждений, решающих проблему С.~Райха при дополнительных требованиях на обобщенное
сжатие $\Phi.$ В~простейшем случае, когда многозначное обобщенно сжимающее отображение $\Phi$ действует в $\mathbb{R},$ без каких-либо дополнительных условий доказано существование у этого отображения неподвижной точки.

неподвижная точка, обобщенное сжатие, многозначное отображение в метрическом пространстве, теорема Браудера–Красносельского о неподвижной точке

1. S. Banach, “Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales”, Fund. Math., 3 (1922), 133–181.

2. С. Кобзаш, “Неподвижные точки и полнота в метрических и обобщённых метрических пространствах”, Фундаментальная и прикладная математика, 22:1 (2018), 127–215.

3. S.B. Nadler, “Multi-valued contraction mappings”, Pacific Journal of Mathematics, 30:2 (1969), 475–488.

4. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств”, Матем. сб., 209:8 (2018), 3–28.

5. Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальних включений, 2-е изд., Либроком, М., 2011.

6. A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Monograph, Springer–Verlag, New York, 2003.

7. А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “(q_1,q_2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3–32.

8. И.А. Бахтин, “Принцип сжатых отображений в почти метрических пространствах”, Функциональный анализ, 30 (1989), 26–37.

9. D. Panthi, K. Jha, G. Porru, “A fixed point theorem in dislocated quasi-metric space”, American Journal of Mathematics and Statistics, 3:3 (2013), 153–156.

10. Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 18–24.

11. Е.С. Жуковский, Е.А. Панасенко, “О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 93–105.

12. F.E. Browder, “On the convergence of successive approximations for nonlinear functional equations”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 71 (1968), 27–35.

13. М.А. Красносельский, Г.М. Вайнико, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко, Приближенное решение операторных уравнений, Наука, М., 1969.

14. J. Jachymski, “Around Browder’s fixed point theorem for contractions”, J. Fixed Point Theory Appl., 5:1 (2009), 47–61.

15. D.W. Boyd, J.S.W. Wong, “On nonlinear contractions”, Proceedings of the American Mathematical Society, 89 (1968), 458–464.

16. Е.С. Жуковский, “Замечание к теоремам об обобщенном сжатии”, Матем. заметки, 111:2, (в печати) (2022), 211–218.

17. А.И. Перов, “Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М. А. Красносельского”, Функциональный анализ и его приложения, 44:1 (2010), 83–87.

18. Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений f -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338–1350.

19. Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, “Об одном квазиметрическом пространстве”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 22:6 (2017), 1285–1292.

20. S. Reich, “Fixed points of contractive functions”, Italian Mathematical Union. Bulletin, 5:4 (1972), 26–42.

21. S. Reich, “Some fixed point problems”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194–198.

22. S. Reich, “Some problems and results in fixed point theory”, Contemporary Mathematics AMS, 21 (1983), 179–187.

23. П.В. Семенов, “О неподвижных точках многозначных сжатий”, Функц. анализ и его прил., 36:2 (2002), 89–92.

24. P.Z. Daffer, H. Kaneko, W. Li, “On a conjecture of S. Reich”, Proceedings of the American Mathematical Society, 124:10 (1996), 3159–3162.