Один метод исследования разрешимости краевых задач для неявного дифференциального уравнения

В статье рассматривается краевая задача с линейными краевыми условиями общего вида
для скалярного дифференциального уравнения
\begin{equation*}
f\big(t,x(t),\dot{x}(t)\big)=\widehat{y}(t),%\ \ t\in [0,\tau],
\end{equation*}
не разрешенного относительно производной $\dot{x}$ искомой функции.
Предполагается, что функция $f$
удовлетворяет условиям Каратеодори, функция $\widehat{y}$ является измеримой.
Предлагаемый метод исследования такой краевой задачи основан на результатах об операторном уравнении с отображением, действующим из метрического пространства в множество с расстоянием
(это расстояние удовлетворяет только одной аксиоме метрики: оно равно нулю тогда
и только тогда, когда элементы совпадают).
В терминах множества
накрывания функции $f(t,x_1,\cdot):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ и множества
липшицевости функции $f(t,\cdot,x_2):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ получены
условия существования решений и условия устойчивости решений к возмущению
функции $f,$ порождающей дифференциальное уравнение, а также к возмущениям правых частей
краевой задачи: функции $\widehat{y}$ и значения краевого условия.

неявное дифференциальное уравнение, линейные краевые условия, существование решений краевой задачи, накрывающее отображение метрических пространств

1. Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский математический журнал, 12:4 (2020), 42–55.

2. С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52–63.

3. В. Мерчела, “Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 44–54.

4. Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613–634.

5. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523–1537.

6. Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439–455.

7. Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Теорема о накрывании оператора в произведении метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 16:1 (2011), 70–72.

8. Д.Ю. Бураго, Ю.Д. Бураго, С.В. Иванов, Курс метрической геометрии, Институт компьютерных иссследований, Москва–Ижевск, 2004.

9. А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “(q_1; q_2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3–32.

10. Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений f –квазиметрических пространств”, Сибирский математический журнал, 59:6 (2018), 1338–1350.

11. А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151–155.

12. И.В. Шрагин, “Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476–478.

13. И.Д. Серова, “Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник российских университетов. Математика, 26:135 (2021), 305–314.

14. Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, Наука, М., 1991.