К вопросу о регуляризации классических условий оптимальности в выпуклой задаче оптимального управления c фазовыми ограничениями

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности в выпуклой задаче оптимального управлении для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства, понимаемыми как ограничения в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций. Множество допустимых управлений задачи по традиции вкладывается также в пространство суммируемых с квадратом функций. Однако целевой функционал оптимизационной задачи не является, вообще говоря, сильно выпуклым. Получение регуляризованных классических условий оптимальности основано на приеме, связанном с использованием двух параметров регуляризации. Один из них «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение получаемых регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина - устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги для целей практического решения рассматриваемой задачи оптимального управлений с поточечными фазовыми ограничениями.

оптимальное управление, фазовые ограничения, некорректные задачи, двойственная регуляризация

1. Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977.

2. А. В. Арутюнов, Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи, Факториал Пресс, М., 1997.

3. А. А. Милютин, А. В. Дмитрук, Н. П. Осмоловский, Принцип максимума в оптимальном управлении, Изд-во Центра прикладных исследований при мех.-мат. фак-те МГУ, М., 2004.

4. М. И. Сумин, “Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:1 (2014), 25-49.

5. М. И. Сумин, “Зачем нужна регуляризация принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина и что она дает”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:124 (2018), 757-775.

6. М. И. Сумин, “Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:1 (2019), 279-296.

7. М. И. Сумин, “Параметрическая двойственная регуляризация для задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 49:12 (2009), 2083-2102.

8. М. И. Сумин, “Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 51:9 (2011), 1594-1615.

9. М. И. Сумин, “Регуляризация в линейно-выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 47:4 (2007), 602-625.

10. М. И. Сумин, “Устойчивый секвенциальный принцип максимума Понтрягина в задаче оптимального управлении с фазовыми ограничениями”, Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления, XII Всероссийское совещание по проблемам управления (16-19 июня 2014 г.), Сборник трудов, Изд-во ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, М., 2014, 796-808.

11. Ф. А. Кутерин, М. И. Сумин, “Регуляризованный итерационный принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении. I. Оптимизация сосредоточенной системы”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 26:4 (2016), 474-489.

12. Ф. А. Кутерин, М. И. Сумин, “Регуляризованный итерационный принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении. II. Оптимизация распределенной системы”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 26-41.

13. Ф. А. Кутерин, М. И. Сумин, “Устойчивый итерационный принцип Лагранжа в выпуклом программировании как инструмент для решения неустойчивых задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:1 (2017), 55-68.

14. Ф. А. Кутерин, “Об устойчивом принципе Лагранжа в итерационной форме в выпуклом программировании и его применении при решении неустойчивых операторных уравнений первого рода”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 20:5 (2015), 1239-1246.

15. Ф. А. Кутерин, М. И. Сумин, “О регуляризованном принципе Лагранжа в итерационной форме и его применении для решения неустойчивых задач”, Матем. моделирование, 28:11 (2016), 3-18.

16. Ф. П. Васильев, Методы оптимизации: В 2-х кн., МЦНМО, М., 2011.

17. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 1979.