Вольтерровы функциональные уравнения в проблеме устойчивости существования глобальных решений распределенных управляемых систем

Ранее автором была предложена довольно общая форма описания управляемых начально-краевых задач (УНКЗ) с помощью вольтерровых функциональных уравнений (ВФУ) вида z t =f t, A z t , vt , t≡ t 1 ,⋯, t n ∈ Π⊂ Rn , z∈ L p m ≡ L p Πm , где f.,.,. : Π× Rl ×Rs →Rm ; v(.)∈D⊂ L k s - управление; A:L pm→L ql - линейный оператор, вольтерров на некоторой системе T подмножеств Π в том смысле, что для любого H∈T сужение A[z] H не зависит от значений z Π\\H; p,q,k∈1, +∞ . Это определение вольтерровости - многомерное обобщение известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра. К подобным уравнениям естественным образом (обращением главной части) приводятся разнообразные УНКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.). Переход к эквивалентному ВФУ-описанию УНКЗ адекватен многим проблемам распределенной оптимизации. В частности, автором была предложена опирающаяся на это описание схема получения конструктивных достаточных условий устойчивости (при возмущении управления) существования глобальных решений (УСГР) УНКЗ. Схема использует продолжение локальных решений ВФУ (то есть решений на множествах H∈T ) вдоль упорядоченной по вложению конечной цепочки множеств H 1 ⊂ H 2 ⊂…⊂ H k-1 ⊂ H k≡ Π системы T . При этом используется опирающаяся на принцип сжимающих отображений специальная теорема существования локальных решений. В случае p=q=k=∞ при естественных предположениях возможность применения этого принципа обеспечивается тем, что оператор правой части F vz . (t)≡f(t,Az t , v(t)) удовлетворяет операторному условию Липшица с квазинильпотентным «оператором Липшица». Это позволяет, пользуясь хорошо известными результатами функционального анализа, ввести в пространстве L ∞m( H ) такую эквивалентную обычной норму, в которой оператор правой части будет сжимающим. В общем случае 1≤p, q, k ≤∞, охватывающем существенно более широкий круг УНКЗ, оператор правой части подобному операторному условию Липшица, вообще говоря, не удовлетворяет. В этом случае введение требуемой для применения принципа сжимающих отображений эквивалентной нормы пространства L pm( H ) обеспечивает доказанная ранее автором теорема об эквивалентной норме , опирающаяся на введенное им понятие суперравностепенной квазинильпотентности семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве. В данной статье показано, как эта теорема может быть применена для получения достаточных условий УСГР ВФУ в указанном случае.

вольтеррово функциональное уравнение, распределенная управляемая система, устойчивость существования глобальных решений, суперравностепенно квазинильпотентное семейство операторов, теорема об эквивалентной норме

1. В. И. Сумин, “Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами”, Доклады Академии наук, 305:5 (1989), 1056-1059.

2. В. И. Сумин, “Равностепенная квазинильпотентность: определения, признаки, примеры применения”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 15:1 (2010), 453-466.

3. В. И. Сумин, “Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 30:1(1990), 3-21.

4. В. И. Сумин, “О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач”, Дифференциальные уравнения, 26:12 (1990), 2097-2109.

5. В. И. Сумин, Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами, Издательство ННГУ, Нижний Новгород, 1992.

6. В. И. Сумин, “Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения”, Вестник Нижегородского университета. Серия Математика., 2003, №1, 91-107.

7. И. В. Лисаченко, В. И. Сумин, “Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости”, Дифференциальные уравнения, 47:6 (2011), 858-870.

8. В. И. Сумин, А. В. Чернов, “Вольтерровы функционально-операторные уравнения в теории оптимизации распределенных систем”, Динамика систем и процессы управления, Труды Международной конференции, Международная конференция «Динамика систем и процессы управления», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Красовского (Екатеринбург, 2014 г.), 2015, 293-300.

9. V. Sumin, "Volterra Functional-Operator Equations in the Theory of Optimal Control of Distributed Systems", IFAC PapersOnLine, 51:32 (2018), 759-764.

10. А. В. Чернов, “О сохранении разрешимости полулинейного уравнения глобальной электрической цепи”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 58:12 (2018), 2095-2111.

11. В. И. Сумин, “Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений”, Труды Института математики и механики УрО РАН, 25:1(2019), 262-278.

12. В. И. Сумин, “Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах”, Вестник Нижегородского университета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1998, №2(19), 138-151.

13. В. И. Сумин, “Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах”, Депонировано в ВИНИТИ, 03.09.98, №2742-B98, 92 с.

14. G. C. Rota, G. Strang, "A note on the joint spectral radius", Indag. Math., 22 (1960), 379-381.

15. V. S. Shulman, Y. V. Turovskii, "Joint Spectral Radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtynski", Journal of Functional Analysis, 177:2 (2000), 383-441.

16. Ю.Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Наука, М., 1970.