О распространении теоремы Чаплыгина на дифференциальные уравнения нейтрального типа

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение x(gt = ft; x ht , t ∈ 0; 1 , где функция f удовлетворяет условиям Каратеодори, но возможно не обеспечивает действие соответствующего оператора суперпозиции из пространства существенно ограниченных функций в пространство суммируемых функций. Вследствие этого, к интегральному уравнению, которое равносильно задаче Коши, не удается применить стандартные результаты анализа, в частности, теоремы о неподвижной точке. Используемый в работе подход к исследованию разрешимости такого уравнения основан не на теоремах о неподвижной точке, а на полученных в [A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications, 2015, v. 179, № 1, 13-33] результатах о точках совпадения отображений частично упорядоченных пространств. Использование этих результатов позволило в данной работе получить утверждение о существовании и оценке решения задачи Коши для рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения, аналогичное известной теореме Чаплыгина. Основными предположениями в доказанном утверждении являются неубывание функции f(t; ·) и существование двух абсолютно непрерывных функций v , w , удовлетворяющих при п.в. t ∈ [0; 1] неравенствам vgt ≥ft; v ht , wgt ≤ft;wht . Приведен пример применения полученного утверждения.

точка совпадения отображений, частично упорядоченное пространство, функционально-дифференциальное уравнение, задача Коши, существование решения, теорема о дифференциальном неравенстве

1. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы. Общая теория., ИЛ, М., 1962.

2. Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, Наука, М., 1957, 1991.

3. A. Shindiapin, “On linear singular functional-differential equations in one functional space”, Abstract and Applied Analysis, 179:1 (2015), 13-33.

4. Е. А. Плужникова, А. И. Шиндяпин, “Об одном методе исследования неявных сингулярных дифференциальных включений”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 22:6-1 (2017), 1314-1320 DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1314-1320.

5. A. I. Shindiapin, E. S. Zhukovskiy, “Covering mappings in the theory of implicit singular differential equations”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 21:6 (2016), 2107-2112 DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2107-2112.

6. Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский, “Об антитонных возмущениях накрывающих отображений упорядоченных пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 21:2 (2016), 371-374 DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-371-374.

7. Е.Р. Аваков, А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613-634.

8. A. V. Arutyunov, E. S. Zhukovskiy, S. E. Zhukovskiy, “Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces”, Topology and its Applications, 7 (2004), 567-575.

9. А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С. Е. Жуковский, “О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах”, Доклады Академии наук, 453:5 (2013), 475-478.

10. Е. С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина”, Алгебра и анализ, 30:1 (2018), 96-127.

11. Е. С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах”, Дифференциальные уравнения, 52:12 (2016), 1610-1627.

12. Б. З. Вулих, Краткий курс теории функций вещественной переменной, Наука, М., 1973.