Об основном свойстве комплексной операторной экспоненциальной функции комплексного операторного аргумента

В банаховом пространстве E рассматриваются операторные функции eA , sin B , cos B операторного аргумента из банаховой алгебры ограниченных линейных операторов, действующих из E в E . Для тригонометрических операторных функций sin B , cos B выводятся формулы для синуса и косинуса суммы аргументов, аналогичные скалярному случаю. При доказательстве этих формул используется произведение рядов с операторными членами в форме Коши. Приводится основное операторное тригонометрическое тождество. Для комплексной операторной экспоненциальной функции eZ операторного аргумента Z из банаховой алгебры комплексных операторов доказывается с помощью формул для косинуса и синуса суммы основное свойство показательной функции. Рассматриваются операторные функции eAt , sin Bt , cos Bt , eZt действительного аргумента t∈(-∞;∞) . На эти функции переносятся факты, изложенные для операторных функций операторного аргумента. В частности, приводится групповое свойство операторной экспоненты eZt . Указывается правило дифференцирования функции eZt . Отмечается, что перечисленные выше операторные функции действительного аргумента t используются при построении общего решения линейного дифференциального уравнения n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве.

банахово пространство, банахова алгебра, операторная экспоненциальная функция, операторные тригонометрические функции, основное свойство операторной экспоненциальной функции, произведение операторных рядов в форме Коши, основное операторное тригонометрическое тождество

1. В. И. Фомин, “Об общем решении линейного дифференциального уравнения n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве”, Дифференциальные уравнения, 41:5 (2005), 656-660.

2. В. И. Фомин, “О случае кратных корней характеристического операторного многочлена линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка в банаховом пространстве”, Дифференциальные уравнения, 43:5 (2007), 710-713.

3. В. И. Фомин, “Об одном семействе решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка в банаховом пространстве”, Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика, 6:42 (2018), 382-384.

4. В. И. Фомин, “Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов”, Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 24:126 (2019), 237-243.

5. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, М., 1980.

6. Ю.Л. Далецкий , М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Наука, М., 1970.

7. В. И. Фомин, “О банаховой алгебре комплексных операторов”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:124 (2018), 813-823, DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-813-823.

8. В. И. Фомин, “Об основном операторном тригонометрическом тождестве”, Современные методы теории краевых задач, Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения - ХХХ» (Воронеж, 3-9 мая, 2019), Материалы международной конференции, Издательский дом ВГУ, Воронеж, 2019, 284-285.