Метод гармонического баланса для отыскания приближённых периодических решений системы Лоренца

Рассматривается метод гармонического баланса для нахождения приближённых периодических решений динамической системы Лоренца. При разработке программного обеспечения, реализующего описываемый метод, был выбран математический пакет Maxima. Показаны недостатки символьных вычислений для получения системы нелинейных алгебраических уравнений относительно циклической частоты, постоянных членов и амплитуд гармоник, составляющих искомое решение. Для ускорения расчётов впервые эта система была получена в общем виде. Приведены результаты вычислительного эксперимента - коэффициенты тригонометрических полиномов, приближающих найденное периодическое решение, начальное условие и период цикла. Полученные результаты были проверены с помощью описанного ранее в работах авторов высокоточного метода интегрирования, основанного на аппроксимации степенными рядами.

система Лоренца, аттрактор, метод гармонического баланса, ряды Фурье

1. E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences, 20:2 (1963), 130-141.

2. W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics, 2:1 (2002), 53-117.

3. Ж. Палис, В. Ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем, Мир, М., 1986.

4. М. И. Рабинович, “Стохастические автоколебания и турбулентность”, Успехи физических наук, 125 (1978), 123-168.

5. Z. Galias, W. Tucker, “Validated study of the existence of short cycles for chaotic systems using symbolic dynamics and interval tools”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 21:2 (2011), 551-563.

6. R. Lozi, “Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems?”, Topology and Dynamics of Chaos. In Celebration of Robert Gilmore’s 70th Birthday. - World Scientific Series in Nonlinear Science Series A, 84 (2013), 63-98.

7. D. Viswanath, “The fractal property of the Lorenz attractor”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 190:1-2 (2004), 115-128.

8. D. Viswanath, “The Lindstedt-Poincare technique as an algorithm for computing periodic orbits”, SIAM Review, 43:3 (2001), 478-495.

9. А. Н. Пчелинцев, “Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца”, Сибирский журнал вычислительной математики, 17:2 (2014), 191-201.

10. K. Neymeyr, F. Seelig, “Determination of unstable limit cycles in chaotic systems by method of unrestricted harmonic balance”, Zeitschrift f¨ur Naturforschung A, 46:6 (1991), 499-502.

11. A. C. J. Luo, J. Huang, “Approximate solutions of periodic motions in nonlinear systems via a generalized harmonic balance”, Journal of Vibration and Control, 18:11 (2011), 1661-1674.

12. A. C. J. Luo, Toward Analytical Chaos in Nonlinear Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 2014.

13. A. C. J. Luo, S. Guo, “Analytical solutions of period-1 to period-2 motions in a periodically diffused brusselator”, Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 13:9 (2018), 090912.

14. G.P. Tolstov, Fourier Series, Dover Publications, New York, 1962.