Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов

В банаховом пространстве изучается линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами. Нахождение общего решения ЛНДУ сводится к построению общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Характеристическое операторное уравнение для ЛОДУ рассматривается в банаховой алгебре комплексных операторов. В общем случае, когда среди корней характеристического операторного уравнения имеются как действительные, так и комплексные операторные корни, указывается n -параметрическое семейство решений ЛОДУ. При построении этого семейства используются операторные функции eAt ; sinBt ; cosBt действительного аргумента t ∈ [0;∞) : Выясняются условия, при которых данное семейство решений является общим решением ЛОДУ. В случае, когда характеристическое операторное уравнение имеет простые действительные операторные корни и простые чисто мнимые операторные корни, указан конкретный вид таких условий. В частности, эти корни должны коммутировать с операторными коэффициентами ЛОДУ. Кроме того, они должны коммутировать между собой. При доказательстве соответствующего утверждения применяется операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве.

комплексный оператор, действительный оператор, чисто мнимый оператор, характеристический операторный полином, семейство решений, задача Коши, операторный определитель

1. В. И. Фомин, “Об общем решении линейного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве”, Дифференциальные уравнения, 41:5 (2005), 656-660.

2. В. И. Фомин, “О линейном дифференциальном уравнении -го порядка в банаховом пространстве со специальной правой частью”, Дифференциальные уравнения, 45:10 (2009), 1518-1520.

3. В. И. Фомин, “О банаховой алгебре комплексных операторов”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:124 (2018), 813-823, DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-813-823.

4. В. И. Фомин, “О случае кратных корней характеристического операторного многочлена линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка в банаховом пространстве”, Дифференциальные уравнения, 43:5 (2007), 710-713.

5. В. И. Фомин, “Об одном семействе решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка в банаховом пространстве”, Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика, 6:42 (2018), 382-384.

6. В. И. Фомин, “Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов”, Современные методы теории функций и смежные проблемы, Воронежская зимняя математическая школа (Воронеж, 28 января - 2 февраля 2019), Материалы Международной конференции, Издательский дом ВГУ, Воронеж, 2019, 271-273.