Устойчивость решений неявных неавтономных разностных уравнений в пространствах с обобщенным расстоянием

Рассматриваются неявные неавтономные разностные уравнения первого порядка в пространствах, наделенных расстоянием. От расстояния требуется лишь неотрицательность (никакими из стандартных свойств метрики расстояние может не обладать). Вводятся аналоги классических определений устойчивости по начальным данным (по Ляпунову, асимптотической и экспоненциальной устойчивостей), учитывающие возможную неединственность решения задачи Коши. В предположении, что отображение двух аргументов, порождающее рассматриваемое уравнение, является по одному аргументу накрывающим, а по другому — липшицевым, получены утверждения об устойчивости по начальным данным частного решения задачи Коши и всех решений уравнения. В качестве следствия исследована устойчивость стационарного решения неявного автономного уравнения. Также для такого автономного уравнения получены условия существования стационарного решения. Демонстрируется как из представленных результатов следуют известные условия экспоненциальной устойчивости положений равновесия явных разностных уравнений в линейных нормированных пространствах. Предлагается схема приложения полученных результатов к исследованию устойчивости некоторых функциональных уравнений с запаздыванием. Приведен пример исследования по этой схеме конкретного функционального уравнения в пространстве измеримых по Лебегу существенно ограниченных функций.

1. И. С. Никитин, В. И. Голубев, А. В. Шевченко, “Численные схемы для задач динамики упруговязкопластических сред с произвольной функцией упрочнения-разупрочнения”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 66:6 (2026), 870–883;

2. А. В. Березин, А. А. Крюков, Б. Д. Плющенков, “Неявная разностная схема для решения уравнений Максвелла”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2009, 040, 20 с.

3. Y. Liu, M. K. Sen, “A practical implicit finite-difference method: examples from seismic modelling”, Journal of Geophysics and Engineering, 6:3 (2009), 231–249.

4. Н. М. Барышева, А. И. Зуев, Н. Г. Карлыханов, В. А. Лыков, В. Е. Черняков, “Неявная схема для численного моделирования физических процессов в лазерной плазме”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 22:2 (1982), 401–410;

5. J. Kennedy, D. R. Stockman, J. A. Yorke, “Inverse limits and an implicitly defined difference equation from economics”, Topology and its Applications, 154:13 (2007), 2533–2552.

6. P. N. V. Tu, Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications, Springer–Verlag, Berlin; New York, 1991.

7. P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

8. О. Б. Исаева, М. А. Обычев, Д. В. Савин, “Динамика дискретной системы с оператором эволюции, задаваемым неявной функцией: от отображения Мандельброта к унитарному отображению”, Нелинейная динамика, 13:3 (2017), 331–348.

9. P. K. Anh, H. T. N. Yen, “On the solvability of initial-value problems for nonlinear implicit difference equations”, Advances in Difference Equations, 2004:3 (2004), 195–200.

10. А. В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Докл. РАН, 416:2 (2007), 151–155;

11. Е. С. Жуковский, В. Мерчела, “Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций”, Дифференциальные уравнения, 58:1 (2022), 93–104;

12. E. S. Zhukovskiy, E. A. Panasenko, “Extension of the Kantorovich theorem to equations in vector metric spaces: applications to functional differential equations”, Mathematics, 12:1 (2024), article no. 64.

13. Т. В. Жуковская, В. Мерчела, “Об устойчивости и непрерывной зависимости от параметра множества точек совпадения двух отображений, действующих в пространство с расстоянием”, Вестник российских университетов. Математика, 27:139 (2022), 247–260.

14. S. Benarab, W. Merchela, M. Kharoubi, N. Khial, “On coincidence points in (q1, q2)- quasimetric space”, Вестник российских университетов. Математика, 30:152 (2025), 309– 321.

15. S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer, New York, 2005.

16. З. Т. Жуковская, “О достаточных условиях асимптотической устойчивости положений равновесия разностных уравнений”, Вестник российских университетов. Математика, 30:151 (2025), 218–225.

17. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы. Т. 1. Общая теория, Издательство иностранной литературы, М., 1962;

18. Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, ЛИБРОКОМ, М., 2016.