Рассматриваются неявные неавтономные разностные уравнения первого порядка в пространствах, наделенных расстоянием. От расстояния требуется лишь неотрицательность (никакими из стандартных свойств метрики расстояние может не обладать). Вводятся аналоги классических определений устойчивости по начальным данным (по Ляпунову, асимптотической и экспоненциальной устойчивостей), учитывающие возможную неединственность решения задачи Коши. В предположении, что отображение двух аргументов, порождающее рассматриваемое уравнение, является по одному аргументу накрывающим, а по другому — липшицевым, получены утверждения об устойчивости по начальным данным частного решения задачи Коши и всех решений уравнения. В качестве следствия исследована устойчивость стационарного решения неявного автономного уравнения. Также для такого автономного уравнения получены условия существования стационарного решения. Демонстрируется как из представленных результатов следуют известные условия экспоненциальной устойчивости положений равновесия явных разностных уравнений в линейных нормированных пространствах. Предлагается схема приложения полученных результатов к исследованию устойчивости некоторых функциональных уравнений с запаздыванием. Приведен пример исследования по этой схеме конкретного функционального уравнения в пространстве измеримых по Лебегу существенно ограниченных функций.

В статье предложен подход к анализу седловых точек на подмножестве конечномерного пространства у функций, дважды непрерывно дифференцируемых в окрестности рассматриваемой точки. Подход основан на необходимых условиях оптимальности 2-го порядка в задачах с ограничениями. Предполагается, что множества, на прямом произведении которых функция имеет седловую точку, заданы как множества нулей некоторых отображений. Достоинство предлагаемого подхода заключается в отсутствии требования регулярности этих отображений. Приводятся различные примеры функций, имеющих седловую точку, и ограничений, в которых выполняются полученные условия. 

Исследуется простейшая задача вариационного исчисления в пространстве абсолютно непрерывных функций. В рассматриваемой постановке задачи предполагается, что лагранжиан является ограниченной снизу непрерывной функцией, действующей в расширенную вещественную прямую. Последнее означает, что он может принимать значение +∞. Показана корректность постановки задачи. В случае, когда лагранжиан в задаче имеет специальный вид L(y, y' ) = α(y)β(y'), получены необходимые условия слабого локального минимума и сильного локального минимума в форме уравнения Эйлера. Важное отличие полученных результатов от известных ранее состоит в следующем. Полученные необходимые условия применимы и в случае, когда функция ŷ, на которой достигается минимум, имеет особенность, то есть точку x, в которой L ŷ(x), ŷ'(x) = +∞. Применение полученных результатов продемонстрировано на примере задачи о брахистохроне в классе абсолютно непрерывных функций. С помощью полученных в статье необходимых условий минимума показано, что, как и в классической постановке задачи о брахистохроне, циклоида является единственной функцией, подозрительной на экстремум. Поскольку эта кривая имеет особенность в нуле, то приведенный пример демонстрирует применение полученных результатов в случае наличия особенностей.

Настоящая работа посвящена изучению взаимоотношения произвольных и рекуррентных движений динамической системы, заданной в хаусдорфовом полуметрическом пространстве Γ и наделенной оговоренными топологиями компактной и равномерной сходимости.

На основании определений минимального множества и рекуррентного движения, введенных Дж. Биркгофом в начале прошлого века, получено новое свойство движений, которое жестко связывает произвольные и рекуррентные движения и устанавливает, что если в пространстве Γ положительная (отрицательная) полутраектория некоторого движения относительно компактна, то ω -предельное ( α -предельное) множество этого движения является компактным минимальным множеством. Данное свойство позволяет также выявить некоторые важные свойства рекуррентных движений.

В работе рассматривается задача исследования моментной устойчивости решений линейных функционально-интегральных уравнений Ито с использованием аппарата положительно обратимых матриц. Данный класс уравнений объединяет широкий круг математических моделей, включая дифференциальные уравнения целого и дробного порядков, как со случайными воздействиями, так и без них, а также системы с запаздыванием и без последействия. Кроме того, к нему относятся некоторые сравнительно новые типы уравнений, активно изучаемые в современной научной литературе.

Ранее для анализа устойчивости решений отдельных представителей рассматриваемого класса уравнений преимущественно использовались методы, основанные на функционалах Ляпунова–Красовского–Разумихина. Вместе с тем в теории детерминированных функционально-дифференциальных уравнений свою эффективность доказал подход, основанный на построении вспомогательных (модельных) уравнений. В настоящей работе этот подход адаптирован к исследованию моментной устойчивости: анализ проводится посредством модифицированного метода вспомогательных уравнений, использующего представление решений соответствующей вспомогательной задачи с последующим применением результатов теории положительно обратимых матриц.

Получены достаточные условия моментной устойчивости решений исследуемых уравнений, сформулированные через свойства положительной обратимости матриц, построенных на основе параметров рассматриваемых систем. Приведены примеры, демонстрирующие выполнение полученных условий для ряда конкретных частных случаев.

Исследуется бесконечная система нелинейных интегральных уравнений на всей числовой прямой с некомпактным и монотонным оператором Гаммерштейновского типа. Указанная система, при различных частных представлениях оператора Гаммерштейна, возникает во многих направлениях физики и биологии. В частности, системы такого характера встречаются в динамической теории p-адических открытых и открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов, в нелинейной теории переноса изучения в неоднородных средах, в кинетической теории газов и математической теории распространения различных эпидемическых заболеваний в рамках обычной и модифицированной модели Дикмана–Капера. Доказывается конструктивная теорема существования неотрицательного нетривиального и ограниченного решения. Кроме того устанавливается равномерная сходимость (со скоростью убывающей геометрической прогрессии) специально выбранного итерационного процесса к решению указанной системы нелинейных интегральных уравнений. В определенном подклассе бесконечных ограниченных вектор-функций доказывается единственность построенного решения. В конце приводятся конкретные примеры матричного ядра и нелинейности, удовлетворяющих всем условиям доказанных теорем.

Исследуются вопросы структуры максимальных сцепленных систем и ультрафильтров на широко понимаемых измеримых пространствах (ИП) и на их непустых подпространствах. Исследуется роль множеств стоуновского типа в вопросах представления ультрафильтров на упомянутых подпространствах, включая возможность топологического отождествления в случае ИП с алгеброй или полуалгеброй множеств. Рассматриваются вопросы, связанные со свойствами и преобразованиями тривиальных (фиксированных) и свободных ультрафильтров на широко понимаемых ИП.