Необходимые условия минимума в одной задаче вариационного исчисления

Исследуется простейшая задача вариационного исчисления в пространстве абсолютно непрерывных функций. В рассматриваемой постановке задачи предполагается, что лагранжиан является ограниченной снизу непрерывной функцией, действующей в расширенную вещественную прямую. Последнее означает, что он может принимать значение +∞. Показана корректность постановки задачи. В случае, когда лагранжиан в задаче имеет специальный вид L(y, y' ) = α(y)β(y'), получены необходимые условия слабого локального минимума и сильного локального минимума в форме уравнения Эйлера. Важное отличие полученных результатов от известных ранее состоит в следующем. Полученные необходимые условия применимы и в случае, когда функция ŷ, на которой достигается минимум, имеет особенность, то есть точку x, в которой L ŷ(x), ŷ'(x) = +∞. Применение полученных результатов продемонстрировано на примере задачи о брахистохроне в классе абсолютно непрерывных функций. С помощью полученных в статье необходимых условий минимума показано, что, как и в классической постановке задачи о брахистохроне, циклоида является единственной функцией, подозрительной на экстремум. Поскольку эта кривая имеет особенность в нуле, то приведенный пример демонстрирует применение полученных результатов в случае наличия особенностей.

1. У. Рудин, Основы математического анализа, 2-е изд., Мир, М., 1976; англ. ориг.:W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1964.

2. L. Cesari, Optimization — Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations, Springer–Verlag, New York, 1983.

3. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974;

4. J. M. Ball, V. J. Mizel,, “One-dimensional variational problems whose minimizers do not satisfy the Euler-Lagrange equation”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 90 (1985), 325–388.

5. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, Действительный и функциональный анализ: университетский курс, 3-е изд., испр. и доп., НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», Институт компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2020;