Положительная обратимость матриц и моментная устойчивость решений линейных функционально-интегральных уравнений типа Ито

В работе рассматривается задача исследования моментной устойчивости решений линейных функционально-интегральных уравнений Ито с использованием аппарата положительно обратимых матриц. Данный класс уравнений объединяет широкий круг математических моделей, включая дифференциальные уравнения целого и дробного порядков, как со случайными воздействиями, так и без них, а также системы с запаздыванием и без последействия. Кроме того, к нему относятся некоторые сравнительно новые типы уравнений, активно изучаемые в современной научной литературе.

Ранее для анализа устойчивости решений отдельных представителей рассматриваемого класса уравнений преимущественно использовались методы, основанные на функционалах Ляпунова–Красовского–Разумихина. Вместе с тем в теории детерминированных функционально-дифференциальных уравнений свою эффективность доказал подход, основанный на построении вспомогательных (модельных) уравнений. В настоящей работе этот подход адаптирован к исследованию моментной устойчивости: анализ проводится посредством модифицированного метода вспомогательных уравнений, использующего представление решений соответствующей вспомогательной задачи с последующим применением результатов теории положительно обратимых матриц.

Получены достаточные условия моментной устойчивости решений исследуемых уравнений, сформулированные через свойства положительной обратимости матриц, построенных на основе параметров рассматриваемых систем. Приведены примеры, демонстрирующие выполнение полученных условий для ряда конкретных частных случаев.

1. В. Б. Колмановский, Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием, Наука, М., 1981.

2. Е. Ф. Царьков, Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений, Зинатне, Р., 1989.

3. X. Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood Publishing Ltd., Chichester, 1997.

4. S.-E. F. Mohammed, “Stochastic Functional Differential Equations With Memory. Theory, Examples and Applications”, Stochastic Analysis and Related Topics VI: Progress in Probability. V. 42, Proceedings of the Sixth Oslo–Silivri Workshop (Geilo, 1996), Norway, 1996, 1–91.

5. N. V. Azbelev, V. P. Maksimov, L. F. Rakhmatulina, Introduction to the Theory of Functional Differential Equations. Methods and Applications, Hindawi, New York, 2007.

6. Е. М. Богатов, Р. Р. Мухин, “Из истории нелинейных интегральных уравнений”, Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 24:2 (2016), 77–114.

7. Р. И. Кадиев, “Устойчивость решений линейных функционально-интегральных уравнений Ито”, Дифференциальные уравнения, 61:10 (2025), 1387–1404;

8. Р. И. Кадиев, “Устойчивость решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений Ито с импульсными воздействиями по линейному приближению”, Дифференциальные уравнения, 49:8 (2013), 963–970;

9. Р. И. Кадиев, А. В. Поносов, “Исследование устойчивости решений непрерывно-дискретных стохастических систем с последействием методом регуляризации”, Дифференциальные уравнения, 58:4 (2022), 435–455;

10. R. I. Kadiev, A. V. Ponosov, “The W -transform in stability analysis for stochastic linear functional difference equations”, J. Math. Analysis and Appl., 389:2 (2012), 1239–1250.

11. Р. И. Кадиев, дис. . . . докт. физ.-матем. наук, Махачкала, 2000.

12. Р. И. Кадиев, А. В. Поносов, “Существование и единственность решений нелинейных функционально-интегральных уравнений Ито”, Дифференциальные уравнения, 60:9 (2024), 1167–1189;

13. Р.Ш. Липцер, А. Н. Ширяев, Теория мартингалов, Наука, М., 1986.