Компактная схема для решения супердиффузионного уравнения

Рассматривается супердиффузионное уравнение с дробными производными Рисса по пространству с несколькими переменными запаздываниями. Производится дискретизация задачи. По времени конструируется аналог разностного метода Кранка–Николсон с кусочно-линейной интерполяцией для учета эффекта переменного запаздывания и с экстраполяцией продолжением для того, чтобы неявность метода стала конечномерной. По пространству конструируется аналог компактной схемы со специальной заменой дробных производных Рисса дробными центральными разностями. В результате метод сводится к решению на каждом шаге времени системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной главной матрицей. Изучается порядок малости относительно шагов дискретизации по времени и пространству h невязки метода без интерполяции и с интерполяцией, он равен . Основной результат состоит в доказательстве того, что метод сходится с порядком в энергетической и компактной норме послойного вектора погрешности. Приводятся результаты тестовых примеров для супердиффузионных уравнений с постоянным и переменным запаздываниями. Вычислимые порядки сходимости по каждому шагу дискретизации в примерах оказались близки к теоретически полученным порядкам сходимости по соответствующим шагам дискретизации.

уравнение супердиффузии, несколько переменных запаздываний, компактная схема, кусочно-линейная интерполяция

1. J. Wu, Theory and Application of Partial Functional Differential Equations, Springer–Verlag, New York, 1996.

2. A. D. Polyanin, V. G. Sorokin, A. I. Zhurov, Delay Ordinary and Partial Differential Equations, CRC Press, Boca Raton, 2023.

3. Z. Kamont, K. Kropielnicka, “Implicit difference methods for evolution functional differential equations”, Numerical Analysis and Applications, 4:4 (2011), 294–308.

4. В. Г. Пименов, Разностные методы решения уравнений в частных производных с на¬следственностью, Изд-во Уральского университета, Екатеринбург, 2014. [V. G. Pimenov, Difference Methods for Solving Partial Differential Equations with Heredity, Publishing House of the Ural University, Yekaterinburg, 2014 (In Russian)].

5. M. M. Meerschaert, C. Tadjeran, “Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations”, Applied Numerical Mathematics, 56:1 (2006), 80–90.

6. C. Tadjeran, M. M. Meerschaert, H. P. Scheffler, “A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation”, Journal of Computational Physics, 213:1 (2006), 205–213.

7. C. Celik, M. Duman, “Crank–Nicolson method for the fractional diffusion equation with the Riesz fractional derivative”, Journal of Computational Physics, 231:4 (2012), 1743–1750.

8. W. Tian, H. Zhou, W. Deng, “A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations”, Mathematics of Computation, 84 (2015), 1703–1727.

9. V. G. Pimenov, A. S. Hendy, “A fractional analog of Crank-Nicholson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay”, Ural Mathematical Journal, 2:1 (2016), 48–57.

10. M. Ibrahim, V. G. Pimenov, “Crank–Nicolson scheme for two-dimensional in space fractional diffusion equations with functional delay”, Izv. IMI UdGU, 57 (2021), 128–141.

11. В. Г. Пименов, А. Б. Ложников, “Асимптотическое разложение погрешности численного ме¬тода для решения супердиффузионного уравнения с функциональным запаздыванием”, Тр. ИММ УрО РАН, 30, №2, 2024, 138–151. [V. G. Pimenov, A.B. Lozhnikov, “Asymptotic expansion of the error of a numerical method for solving a superdiffusion equation with functional delay”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 30, no. 2, 2024, 138–151 (In Russian)].

12. G. H. Gao, Z. Z. Sun, “A compact finite difference scheme for the fractional sub-diffusion equations”, Journal of Computational Physics, 230:3 (2011), 586–595.

13. A. S. Hendy, J. E. Macias–Diaz, “A discrete Gronwall inequality and energy estimates in the analysis of a discrete model for a nonlinear time-fractional heat equation”, Mathematics, 8:9 (2020), 1–15.

14. H. Sun, Z. Z. Sun, G. H. Gao, “Some high order difference schemes for the space and time fractional Bloch–Torrey equations”, Applied Mathematics and Computation, 281 (2016), 356–380.

15. L. Li, B. Zhou, X. Chen, Z. Wang, “Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction–diffusion equations with delay”, Applied Mathematics and Computation, 337 (2018), 144–152.

16. А. В. Ким, В. Г. Пименов, i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально¬дифференциальных уравнений, Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2004 [A. V. Kim, V. G. Pimenov, i-Smooth Analysis and Numerical Methods for Solving Functional Differential Equations, Regular and Chaotic Dynamics, Moscow–Izhevsk, 2004 (In Russian)].