О разрешимости каузальных функциональных включений с бесконечным запаздыванием

В данной статье развиваются результаты работ, посвященных исследованию задач для функционально-дифференциальных уравнений и включений с каузальными операторами, на случай бесконечного запаздывания. Во введении обосновывается актуальность темы исследования и приведены ссылки на соответствующие работы А. Н. Тихонова, C. Corduneanu, А. И. Булгакова, Е. С. Жуковского, В. В. Обуховского и P. Zecca. Во втором разделе представлена необходимая информация из теории уплотняющих многозначных отображений и мер некомпактности, также вводится понятие многозначного каузального оператора с бесконечным запаздыванием, которое иллюстрируется примерами. В следующем разделе формулируется задача Коши для функционального включения, содержащего композицию многозначного и однозначного каузальных операторов; изучаются свойства мультиоператора, неподвижные точки которого являются решениями задачи. В частности достаточные условия, при которых этот мультиоператор является уплотняющим относительно соответствующей меры некомпактности. На этой основе в четвертом разделе получаем локальную и глобальную теоремы существования решений и непрерывную зависимость множества решений от начальных данных. Далее рассматривается случай включений с полунепрерывными снизу мультиоператорами. В последнем разделе обобщаются некоторые результаты для полулинейных дифференциальных включений и интегро-дифференциальных включений Вольтерра с бесконечным запаздыванием.

каузальный оператор, функциональное включение, задача Коши, интегро-дифференциальное включение Вольтерра, мера некомпактности, неподвижные точки, уплотняющие отображения

1. A. H. Тихонов, “О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики”, Бюлл. Моск. ун-та, 1, Секц. А. Вып.8 (1938), 1-25.

2. C. Corduneanu, Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 2002.

3. Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский, “Об операторах Вольтерра в банаховых функциональных пространствах”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 6:2 (2001), 147-149.

4. Е. С. Жуковский, М.Ж. Алвеш, “Абстрактные вольтерровы операторы”, Изв. вузов. Матем., 2008, №3, 3-17.

5. Е. С. Жуковский, “К теории уравнений Вольтерра”, Дифференциальные уравнения, 25:9 (1989), 1599-1605.

6. Е. С. Жуковский, “Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве”, Изв. вузов. Матем., 2005, №10, 17-28.

7. А. И. Булгаков, А. А. Григоренко, Е. А. Панасенко, “Возмущение вольтерровых включений импульсными операторами”, Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ, 1:39 (2012), 17-20.

8. A. И. Булгаков, В. П. Максимов, “Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами”, Дифференциальные уравнения, 17:8 (1981), 1362-1374.

9. Е. О. Бурлаков, Е. С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра с локально сжимающими операторами”, Изв. вузов. Матем., 2010, №8, 16-29.

10. Е. С. Жуковский, “Обобщенно вольтерровые операторы в метрических пространствах”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 14:3 (2009), 501-508.

11. V. Obukhovskiii, P. Zecca, “On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 74:8 (2011), 2765-2777.

12. Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, 2, ЛИБРОКОМ, М., 2011.

13. M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 2001.

14. Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, “Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений”, УМН, 35:1(211) (1980), 59-126.

15. J. K. Hale, J. Kato, “Phase space for retarded equations with infinite delay”, Funkc. Ekvac., 1978, №21, 11-41.

16. Y. Hito, S. Murakami, T. Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lecture Notes in Mathematics, 1473, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1991.

17. K. Deimling, Multivalued Differential Equations, de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 1, Walter de Gruyter, Berlin, 1992.

18. A. Bressan, G. Colombo, “Extensions and selections of maps with decomposable values”, Studia Math., 90:1 (1988), 69-86.

19. A. Fryszkowski, “Continuous selections for a class of nonconvex multivalued maps”, Studia Math., 76:2 (1983), 163-174.