Спектральные свойства и эффект Ефимова для ограниченных самосопряженных частично интегральных операторов

В статье изучается эффект Ефимова для класса ограниченных самосопряженных частичных интегральных операторов с вырожденными ядрами, возникающих в модели Хаббарда. Эти операторы типа Фредгольма действуют в гильбертовом пространстве L2(1×2) и реализуются как некомпактные возмущения оператора умножения. Учитывая спектральное поведение операторов типа Шредингера, мы изучаем возникновение бесконечного числа собственных значений, расположенных ниже существенного спектра. Отличительной особенностью модели является структура ядра, представленная в виде сходящегося ряда, которая существенно влияет на спектр. Приведено подробное описание существенного спектра и доказана теорема, устанавливающая достаточные условия для существования бесконечного дискретного спектра ниже его нижней границы. Подход основан на инструментах спектральной теории, включая принцип минимакса и свойства положительных интегральных операторов. Для подтверждения теоретических результатов построен явный пример, демонстрирующий эффект Ефимова в данной постановке.

существенный спектр, дискретный спектр, нижняя граница существенного спектра, оператор частичного интеграла, эффект Ефимова, отрицательное собственное значение, принцип минимакса

1. V.N. Efimov, “Weakly Bound States of Three Resonantly Interacting Particles”, Physics of Atomic Nuclei, 12:5 (1970), 1080–1091 (In Russian).

2. A.S. Kalitvin, V.A. Kalitvin, “Linear operators and equations with partial integrals”, Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, 65:3 (2019), 390–433 (In Russian).

3. Yu.N. Ovchinnikov, I.M. Sigal, “Number of bound states of three-body systems and Efimov’s effect”, Annals of Physics, 123:2 (1979), 274–295.

4. H. Tamura, “The Efimov effect of three-body Schrodinger operators”, Journal of Functional Analysis, 95:2 (1991), 433–459.

5. S. N. Lakaev, “On the infinite number of three-particle bound states of a system of three quantum lattice particles”, Theoretical and Mathematical Physics, 89:1 (1991), 1079–1086.

6. S.N. Lakaev, “On Efimov’s effect in a system of three identical quantum particles”, Functional Analysis and Its Applications, 27:3 (1993), 166–175.

7. A.V. Sobolev, “The Efimov effect. Discrete spectrum asymptotics”, Communications in Mathematical Physics, 156:1 (1993), 101–126.

8. S.N. Lakaev, J.I. Abdullaev, “Spectral properties of the three-particle difference schrodinger operator”, Functional Analysis and Its Applications, 33:2 (1999), 151–153.

9. J.I. Abdullaev, S.N. Lakaev, “Asymptotics of the discrete spectrum of the three-particle Schrodinger difference operator on a lattice”, Theoretical and Mathematical Physics, 136:2 (2003), 1096–1109.

10. S. Albeverio, S.N. Lakaev, Z.I. Muminov, “Schrodinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics”, Annales Henri Poincare, 5:4 (2004), 743–772.

11. M.I. Muminov, I.N. Bozorov, T.K. Rasulov, “On the number of components of the essential spectrum of one operator matrix”, Russian Mathematics, 68:2 (2024), 75–79.

12. T.H. Rasulov, E.B. Dilmurodov, “On the eigenvalues of a soluble model of coupled molecular and nuclear Hamiltonians”, Contemporary Mathematics, 5:1 (2024), 843–852.

13. T.H. Rasulov, F.M. Zhurakulova, “Investigation of the spectrum of an operator matrix of order three in one-dimensional case”, Russian Mathematics, 69:5 (2025), 57–62.

14. M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. V. IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1978.

15. M.L. Krasnov, Integral Equations, Mir Publ., 1978 (In Russian).

16. Yu.Kh. Eshkabilov, “Perturbation of the spectrum of the operator of multiplication by function with a partial integral operator”, Acta NUUz, 2006, №2, 17–21 (In Russian).

17. Yu.Kh. Eshkabilov, “A discrete “three-particle” Schrodinger operator in the Hubbard model”, Theoretical and Mathematical Physics, 149:2 (2006), 1497–1511.

18. T.H. Rasulov, “Asymptotics of the discrete spectrum of a model operator associated with a system of three particles on a lattice”, Theoretical and Mathematical Physics, 163:1 (2010), 429–437.

19. Yu.Kh. Eshkabilov, R.R. Kucharov, “Essential and discrete spectra of the three-particle Schrodinger operator on a lattice”, Theoretical and Mathematical Physics, 170:3 (2012), 341–353.

20. S. Albeverio, S.N Lakaev, Z.I. Muminov, “On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on lattices”, Russian Journal of Mathematical Physics, 14:4 (2007), 377–387.

21. Yu.Kh. Eshkabilov, R.R. Kucharov, “On the finiteness of negative eigenvalues of a partially integral operator”, Siberian Advances in Mathematics, 25:3 (2015), 179–190.

22. R.R. Kucharov, T.M. Tuxtamurodova, G.P. Arzikulov, “Essential spectrum of one partial integral operator with a degenerate kernel”, Acta NUUz, 2023, 85–96 (In Russian).

23. K.O. Friedrichs, Spectral Theory of Operators in Hilbert Space. V. 9, Applied Mathematical Sciences, Springer New York, New York, 1973.

24. Yu. Kh. Eshkabilov, “About the spectrum of the tensor sum of compact operators”, UzMJ, 2005, №3, 104–112 (In Russian).

25. F.G. Tricomi, Integral Equations, Interscience Publishers, Inc., New York; Interscience Publishers Ltd., London, 1957.

26. Yu.Kh. Eshkabilov, “On infinity of the discrete spectrum of operators in the Friedrichs model”, Siberian Advances in Mathematics, 22:1 (2005), 1–12.