В статье изучается эффект Ефимова для класса ограниченных самосопряженных частичных интегральных операторов с вырожденными ядрами, возникающих в модели Хаббарда. Эти операторы типа Фредгольма действуют в гильбертовом пространстве L2(1×2) и реализуются как некомпактные возмущения оператора умножения. Учитывая спектральное поведение операторов типа Шредингера, мы изучаем возникновение бесконечного числа собственных значений, расположенных ниже существенного спектра. Отличительной особенностью модели является структура ядра, представленная в виде сходящегося ряда, которая существенно влияет на спектр. Приведено подробное описание существенного спектра и доказана теорема, устанавливающая достаточные условия для существования бесконечного дискретного спектра ниже его нижней границы. Подход основан на инструментах спектральной теории, включая принцип минимакса и свойства положительных интегральных операторов. Для подтверждения теоретических результатов построен явный пример, демонстрирующий эффект Ефимова в данной постановке.

В данной работе получены новые точные неравенства, которые связывают наилучшее приближения тригонометрическими полиномами дифференцируемых 2π-периодических суммируемых с квадратом функций с интегралами, содержащими обобщенные модули непрерывности высших порядков r-й производной функций в метрике пространства L2[0;2π]: Пусть N — множество натуральных чисел, Z+=N∪{0}. Для произвольных m∈N; r∈Z+; t>0; определены классы 2π-периодических функций: W_m^(r)(t,ω)⊂L_2^(r), у которых усредненное значение обобщенного модуля непрерывности r-й производной функции ограничено сверху мажорантой ω; и W_m^(r)(t)⊂L_2^(r), у которых усредненное значение характеристики гладкости m(f^(r); t) ограничено сверху единицей. Рассматривается экстремальная задача вычисления точных значений верхних граней наилучших полиномиальных приближений класса W_m^(r)(t,ω). Полученные в работе точные результаты также применяются для вычисления значения некоторых известных n-поперечников класса W_m^(r)(t), когда речь идет о получении оценки сверху. Оценки снизу для этих же поперечников удается получить при помощи теоремы о поперечнике шара.

Мы исследуем асимптотическое поведение максимальной степени в графах пространственного предпочтительного присоединения, с дополнительным шагом с выбором ребер. В пространственных моделях предпочтительного присоединения каждой вершине присваивается координата (в нашем случае, случайное число в [0,1]). Модель строится рекурсивно, причем шаг рекурсии состоит из двух частей. Сначала мы вводим новую вершину и проводим k ребер от нее к близлежащим вершинам, выбранным с помощью слегка модифицированного правила пространственного предпочтительного присоединения. Затем мы проводим m ребер между вершинами по правилу обычного предпочтительного присоединения. В статье доказывается, что в зависимости от параметров модели максимальная степень может демонстрировать сублинейное (аналогично стандартному предпочтительному присоединению) и линейное поведение двух видов: случайное распределение, подобное классической урновой модели, и концентрацию у фиксированного значения (такой эффект наблюдался в моделях предпочтительного присоединения с выбором).

Статья посвящена исследованию компактности линейного интегрального оператора вида (Ku)(t) = ∫Ω k(t, s)u(s) ds с ядром (операторной функцией) k: Ω² → L(X, Y), где Ω — связный компакт в R^ℓ, X, Y — вещественные сепарабельные банаховы пространства, причём Y не содержит c0, L(X, Y) — пространство линейных ограниченных операторов из X в Y, а интеграл понимается в смысле Петтиса. Устанавливаются критерии действия и компактности оператора K из пространства C(X) непрерывных функций u: Ω → X в пространство C(Y). Также доказано, что из компактности оператора K: C(X) → C(Y) следует действие и компактность K из L₁(X) в C(Y). Результаты обобщают известный критерий компактности оператора K в пространстве непрерывных скалярных функций. Обобщается также известный достаточный признак действия и компактности интегрального оператора в C[a, b] в виде условия ограниченности ядра k и его непрерывности всюду, за исключением конечного числа непрерывных «кривых разрыва» ядра в квадрате [a, b]². Это условие интересно для применения к интегральным операторам с переменными пределами интегрирования, в частности, к интегральным операторам Вольтерра. Для двух актуальных для приложений случаев: когда при некотором t₀ ∈ Ω выполнено k(t₀, s) = 0 почти всюду на Ω (в работе названо нуль-условием), и когда dim Y < ∞, условия, необходимые и достаточные для действия и компактности K, формулируются исключительно в терминах ядра k оператора и являются интегральными аналогами условий равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности из теоремы Арцела–Асколи.

Исследуется модель динамики популяции, развитие которой при отсутствии эксплуатации задано логистическим дифференциальным уравнением с мальтузианским коэффициентом. Рассматривается данное уравнение на отрезке времени [0; T], где T > 0 — заданное число. Предполагаем, что в моменты времени tk из популяции извлекается некоторая доля биологического ресурса uk, и количество ресурса, оставшегося в момент времени T, равно начальному количеству x0. Обозначим через Xk количество ресурса до сбора в момент tk, общий доход от сбора на отрезке [0; T] определим как сумма Xkuk. Исследуем задачу нахождения моментов времени t1, ..., tn-1 и построения управлений u1, ..., un для достижения наибольшего дохода на [0; T]. Также рассматривается доход от сбора при дополнительном условии, что в каждый момент времени добыча ресурса связана с расходами на обслуживание оборудования или оплату труда. Считаем, что величина этих расходов постоянная в каждый момент времени и равна c > 0, тогда общий доход от сбора ресурса на отрезке [0; T] определим как сумма Xkuk - cn. Описан режим эксплуатации популяции, при котором достигается наибольшее значение данной характеристики. Исследуется средняя временная выгода от сбора ресурса в предположении, что количество извлечений n(T) на отрезке [0; T] зависит от длины этого отрезка.

Настоящая статья посвящена оценкам модулей тейлоровских коэффициентов на классах голоморфных функций, не обращающихся в нуль и ограниченных в единичном круге. Обозначим множество всех голоморфных функций, ограниченных снизу по модулю в единичном круге, через E. Пусть t ≥ 0 — параметр. На подклассах Et класса E, содержащих отображения из E, нормированные в начале координат, получены точные оценки модулей всех тейлоровских коэффициентов. Рассмотрим класс B, состоящий из голоморфных функций, ограниченных по модулю сверху и не обращающихся в нуль в единичном круге, а также его подклассы Bt, состоящие из функций класса B, нормированных в начале координат. Классы E и Et связаны с классами B и Bt посредством инволюции. Промежуточное положение между двумя упомянутыми классами E и B занимает множество голоморфных функций Aζ,r, 0 < ζ < r, ограниченных по модулю сверху и снизу. Классы Aζ,r можно разбить на подклассы Aζ,r,t функций класса Aζ,r, нормированных в начале координат. Фиксируем ζ и r. Изучение класса Aζ,r можно свести к изучению класса A1,r/ζ, являющегося подклассом класса E, или к изучению класса Aζ/r,1, являющегося подклассом класса B. При этом A1,r/ζ → E и Aζ/r,1 → B при r → 1. На классах A1,r,t построена мажорирующая функция с действительными коэффициентами, благодаря чему с помощью теории подчинения получены точные оценки модулей первых двух тейлоровских коэффициентов на каждом классе A1,r,t, а также на классе A1,r.

В данной работе мы вводим и расширяем важные результаты, касающиеся непрерывных φ-фреймов и непрерывных φ-базисов Рисса, изначально установленные в гильбертовых пространствах, на гильбертов модуль E над C*-алгеброй B. Мы даем характеристику непрерывного φ-фрейма C с помощью условия на последовательность Бесселя {ψ_α}_{α∈Λ} в пространстве L^2(X;B) и стандартного ортонормированного базиса {e_α}_{α∈Λ} в E. Также мы исследуем их основные свойства и приводим характеристики непрерывного φ-базиса Рисса через условия на соответствующий оператор синтеза T_C.