Оценки коэффициентов необращающихся в нуль функций

Настоящая статья посвящена оценкам модулей тейлоровских коэффициентов на классах голоморфных функций, не обращающихся в нуль и ограниченных в единичном круге. Обозначим множество всех голоморфных функций, ограниченных снизу по модулю в единичном круге, через E. Пусть t ≥ 0 — параметр. На подклассах Et класса E, содержащих отображения из E, нормированные в начале координат, получены точные оценки модулей всех тейлоровских коэффициентов. Рассмотрим класс B, состоящий из голоморфных функций, ограниченных по модулю сверху и не обращающихся в нуль в единичном круге, а также его подклассы Bt, состоящие из функций класса B, нормированных в начале координат. Классы E и Et связаны с классами B и Bt посредством инволюции. Промежуточное положение между двумя упомянутыми классами E и B занимает множество голоморфных функций Aζ,r, 0 < ζ < r, ограниченных по модулю сверху и снизу. Классы Aζ,r можно разбить на подклассы Aζ,r,t функций класса Aζ,r, нормированных в начале координат. Фиксируем ζ и r. Изучение класса Aζ,r можно свести к изучению класса A1,r/ζ, являющегося подклассом класса E, или к изучению класса Aζ/r,1, являющегося подклассом класса B. При этом A1,r/ζ → E и Aζ/r,1 → B при r → 1. На классах A1,r,t построена мажорирующая функция с действительными коэффициентами, благодаря чему с помощью теории подчинения получены точные оценки модулей первых двух тейлоровских коэффициентов на каждом классе A1,r,t, а также на классе A1,r.

1. W. Rogosinski, “On the coefficients of subordinate functions”, Proceedings of the London Mathematical Society, s2-48, 1945, 48–82.

2. J.G. Krzyz, “Coefficient problem for bounded nonvanishing functions”, Ann. Polon. Math, 70 (1968), 314.

3. V.I. Levin, “Lösing der Aufgabe 163”, Jahresber. DM, 44:2 (1934), 80-81.

4. J.A. Hummel, S. Scheinberg, L.A. Zalcman, “A coefficient problem for bounded nonvanishing functions”, J.d’Analyse Mathematique, 31 (1977), 169–190.

5. W. Szapiel, “A new approach to the Krzyz conjecture”, Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska. Sec. A., 48 (1994), 169–192.

6. N. Samaris, “A proof of Krzyz’s conjecture for the fifth coefficient”, Compl. Var. Theory and Appl., 48:9 (2003), 753–766.

7. D.L. Stupin, “One method of estimation of moduli of taylor coefficients of subordinated functions”, Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, №2, 71–84 (In Russian).

8. D.L. Stupin, “A new method of estimation of moduli of initial Taylor coefficients on the class of bounded non-vanishing functions”, Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 29:145 (2024), 98–120 (In Russian).

9. I.M. Gal’perin, “Some estimates for functions bounded in the unit circle”, Uspekhi Mat. Nauk, 20:1(121) (1965), 197–202 (In Russian).

10. M.J. Martin, E.T. Sawyer, I. Uriarte-Tuero, D. Vukotic, “The Krzyz conjecture revisited”, Advances in Mathematics, 273 (2015), 716–745.

11. R. Ermers, Coefficient Estimates for Bounded Nonvanishing Functions, Wibro Dissertatiedrukkerij, Helmond, 1990.

12. E. Lindelöf, “Mémorie sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions monogènes et sur quelques properiétés nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d’un point singulier essentiel”, Acta Soc. Sci. Fenn., 35:7 (1909), 1–35.

13. J.E. Littlewood, Lectures on the Theory of Functions, Oxford University Press, 1947.

14. R. Peretz, “Applications of subordination theory to the class of bounded nonvanishing functions”, Compl. Var., 17:3–4 (1992), 213–222.

15. D.L. Stupin, “The sharp estimates of all initial taylor coefficients in the Krzyz’s problem”, 2011, arXiv: abs/1104.3984.