О точном неравенстве между наилучшим приближением и обобщенным модулем непрерывности в пространстве L2

В данной работе получены новые точные неравенства, которые связывают наилучшее приближения тригонометрическими полиномами дифференцируемых 2π-периодических суммируемых с квадратом функций с интегралами, содержащими обобщенные модули непрерывности высших порядков r-й производной функций в метрике пространства L2[0;2π]: Пусть N — множество натуральных чисел, Z+=N∪{0}. Для произвольных m∈N; r∈Z+; t>0; определены классы 2π-периодических функций: W_m^(r)(t,ω)⊂L_2^(r), у которых усредненное значение обобщенного модуля непрерывности r-й производной функции ограничено сверху мажорантой ω; и W_m^(r)(t)⊂L_2^(r), у которых усредненное значение характеристики гладкости m(f^(r); t) ограничено сверху единицей. Рассматривается экстремальная задача вычисления точных значений верхних граней наилучших полиномиальных приближений класса W_m^(r)(t,ω). Полученные в работе точные результаты также применяются для вычисления значения некоторых известных n-поперечников класса W_m^(r)(t), когда речь идет о получении оценки сверху. Оценки снизу для этих же поперечников удается получить при помощи теоремы о поперечнике шара.

1. S.B. Vakarchuk, A.N. Schitov, “Best polynomial approximations in L_2 and widths of some classes of functions”, Ukrain. Math. Journ., 56:11 (2004), 1458–1466 (In Russian).

2. N.P. Korneychuk, Extremal Problems of Approximation Theory, Nauka Publ., Moscow, 1976 (In Russian).

3. È.A. Storozhenko, V.G. Krotov, P. Oswald, “Direct and converse theorems of Jackson type in L^p spaces, 0<p<1”, Math. USSR-Sb., 27:3 (1975), 355–374.

4. K.V. Runovskii, “On approximation by families of linear polynomial operators in L^p -spaces, 0<p<1”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 82:2 (1995), 441–459.

5. S.B. Vakarchuk, M.Sh. Shabozov, V.I. Zabutnaya, “Structural characteristics of functions from L_2 and exact values of the diameters of some functional classes”, Ukrain. Math. Bulletin, 11:3 (2014), 417–441 (In Russian).

6. V.M. Tikhomirov, Some Questions of Approximation Theory, Moscow State University Publ., Moscow, 1976 (In Russian).

7. S.B. Vakarchuk, V.I. Zabutnaya, “A Sharp inequality of Jackson-Stechkin type in L_2 and the widths of functional classes”, Math. Notes, 86:3 (2009), 306–313.

8. M.Sh. Shabozov, S.S. Khorazmshoev, “The best polynomial approximation of differentiable periodical functions and the value of widths of classes functions defined by the generalized modulus of continuity in L_2”, News of the National Academy of Sciences of Tajikistan. Department of phys., math., chem., geol. and techn. sciences, 142:1 (2011), 7–19.

9. S.B. Vakarchuk, V.I. Zabutnaya, “Widths of function classes from L_2 and exact constants in Jackson inequalities”, East J. Approx., 14:4 (2008), 411–421.