О некоторых классах систем дифференциальных уравнений

Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений
$$
\dot x =f(x), \quad \text {где} \quad x\in\mathbb R^n,
$$
вектор-функция $f(x)$ и ее производные  $\partial f_i/\partial x_j$ ($i,j=1,\ldots,n$) непрерывны.
Выделены три класса автономных систем и описаны свойства, которыми обладают решения систем каждого класса.

Будем считать, что система относится к первому классу на множестве $D\subseteq\mathbb R^n,$ если правые части этой системы
не зависят от переменных $x_1,\ldots,x_n,$ то есть данная система имеет вид $\dot x = C,$ где $C\in\mathbb R^n,$ $x\in D.$
Ко второму классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие
<<каждая из функций $f_i$ является возрастающей на множестве $D\subseteq\mathbb R^n$
по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной  $x_i,$ $i=1,\ldots,n$>>.
Решения  систем  первого и второго классов обладают свойством монотонности относительно начальных условий.

К третьему классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие
<<каждая из функций $f_i$ является убывающей на множестве $D\subseteq\mathbb R^n$
по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной  $x_i,$ $i=1,\ldots,n$>>.

Получены  условия отсутствия периодических решений для автономных систем второго порядка, дополняющие известные условия Бендиксона.
Доказано, что системы двух дифференциальных уравнений всех трех указанных классов не могут иметь периодических решений.

1. Л.И. Родина, М.С. Волдеаб, “О свойстве монотонности решений нелинейных систем относительно начальных условий”, Дифференциальные уравнения, 59:8 (2023), 1022–1028.

2. D. Noutsos, M.J. Tsatsomeros, “Reachability and holdability of nonnegative states”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 30:2 (2008), 700–712.

3. T. Wazewski, “Systemes des equations et des inegalites differentieles ordinaires aux deuxiemes membres monotones et leurs applications”, Annales de la Societe Polonaise de Mathematique, 23 (1950), 112–166.

4. Л.И. Родина, “Оптимизация средней временной выгоды для вероятностной модели популяции, подверженной промыслу”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 28:1 (2018), 48–58.

5. L.I. Rodina, A.H. Hammadi, “Optimization problems for models of harvesting a renewable resourse”, Journal of Mathematical Sciences, 25:1 (2020), 113–122.

6. М.С. Волдеаб, Л.И. Родина, “О способах добычи возобновляемого ресурса из структурированной популяции”, Вестник российских университетов. Математика, 27:137 (2022), 16–26.

7. Г.Ю. Ризниченко, Лекции по математическим моделям в биологии. Ч. 1, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск, 2002, 232 с.

8. М.А. Красносельский, А.И. Перов, “Об одном принципе существования ограниченных периодических и почти-периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений”, Доклады Академии наук, 123:2 (1958), 235–238.

9. А.Ф. Филиппов, “Достаточные условия существования устойчивого предельного цикла для уравнения второго порядка”, Математический сборник (новая серия), 30(72):1 (1952), 171–180.

10. В.Н. Лаптинский, “О построении периодических решений дифференциальных уравнений”, Дифференциальные уравнения, 20:3 (1984), 536–539.

11. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, Гостехиздат, М.–Л., 1949, 448 с.