Универсальный метод Монте–Карло для процессов Леви и его экстремумов

В статье предложен универсальный подход построения методов Монте--Карло для вычисления цен опционов с выплатами, зависящими от совместного распределения конечного положения процесса Леви $X_T$ и его инфимума $\mathcal{I}_T$ (или супремума $\mathcal{S}_T$). Мы выводим приближенные формулы для условных функций распределения процесса Леви $\mathbf{P}(X_{T}<x|\mathcal{S}_{T}=y)$ ($\mathbf{P}(X_{T}<x|\mathcal{I}_{T}=y)$), которые выражаются через частную производную по $y$ функции совместного распределения $\mathbf{P}(X_{T}<x,\mathcal{S}_{T}<y)$ (\!$\mathbf{P}(X_{T}<x,\mathcal{I}_{T}<y)\!$) и плотности инфимума (или супремума) в конечный момент времени.
Применив преобразование Лапласа к функции совместного распределения процесса Леви и его экстремума, мы используем приближенную факторизацию Винера--Хопфа для представления образа ее частной производной. Обращая преобразование Лапласа с помощью алгоритма Гавера--Стехфеста, мы находим искомую условную функцию распределения. Разработанный алгоритм симуляции совместного положение процесса Леви и его экстремума в заданный момент времени состоит из двух ключевых этапов. На первом этапе мы симулируем значение экстремума процесса Леви на основе аппроксимации его функции распределения $\mathbf{P}(\mathcal{S}_{T}<x)$ (или $\mathbf{P}(\mathcal{I}_{T}<x)$). На втором этапе мы симулируем конечное значение процесса Леви на основе аппроксимации условной функции распределения конечного положения процесса Леви относительно его экстремума.
Универсальность разработанного нами метода Монте--Карло заключается в реализации единообразного подхода для широкого класса процессов Леви, в отличие от классических подходов, когда симуляции существенным образом опираются на особенности вероятностного распределения, связанного с моделируемым случайным процессом или его экстремумами. В нашем подходе достаточно знать характеристическую экспоненту  процесса Леви. Наиболее затратный по времени вычислительный блок по симуляции случайной величины на основе известной функции распределения может быть эффективно реализован с помощью нейросетей и ускорен за счет параллельных вычислений.  Таким образом, с одной стороны, предлагаемый нами подход подходит для широкого класса моделей Леви, с другой --- допускает комбинирование с~методами машинного обучения.

1. M. Gromov, “Carnot–Carathґeodory spaces seen from within”, Sub-Riemannian Geometry, Progress in Mathematics, 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 79-323.

2. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A Comprehensive Introduction to sub-Riemannian Geometry, Cambridge, Cambridge University Press, 2020.

3. S. K. Vodopyanov, “Geometry of Carnot-Carathґeodory spaces and differentiability of mappings”, Contemporary Mathematics, 424 (2007), 247-301.

4. A. Bonfiglioli, E. Lanconelli, F. Uguzzoni, Stratified Lie Groups and Potential Theory for their sub-Laplacian, Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 2007.

5. P. Pansu, “Métriques de Carnot–Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un”, Ann. Math., 129:1 (1989), 1–60.

6. A. Greshnov, “Optimal horizontal joinability on the Engel group”, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti Lincei Matematica E Applicazioni, 32:3 (2021), 535-547.

7. A.V. Greshnov, R.I. Zhukov, “Horizontal joinability in canonical 3-step Carnot groups with corank 2 horizontal distributions”, Siberian Math. J., 62:4 (2021), 598-606.

8. A.V. Greshnov, R.I. Zhukov, “Horizontal joinability on 5-dimensional 2-step Carnot groups with a codimension 2 horizontal distribution”, Algebra and Logic, 62:2 (2023), 137-147.

9. A.V. Greshnov, “The Agrachev–Barilari–Boscain Method and Estimates for the Number of Segments of Horizontal Broken Lines Joining Points in the Canonical Carnot Group G_3,3”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 321:1 (2023), 97–106.

10. Z. M. Balogh, A. Kristґaly, K. Sipos, “Jacobian determinant inequality on corank1 Carnot groups

11. with applications”, Journal of Functional Analysis, 277:12 (2019), 1–36.

12. A. Greshnov, V. Potapov, “About coincidence points theorems on 2-step Carnot groups with 1-

13. dimensional centre equipped with Box-quasimetrics”, AIMS Mathematics, 8:3 (2023), 6191–6205.

14. A.V. Arutyunov, A.V. Greshnov, “The theory of (q_1,q_2)-quasimetric spaces and coincidence points”, Doklady Mathematics, 94:1 (2016), 434-437.

15. A.V. Arutyunov, A.V. Greshnov, “(q_1,q_2)-quasimetric spaces. Covering mappings and coincidence points”, Izvestiya Mathematics, 82:2 (2018), 245–272.

16. A.V. Arutyunov, A.V. Greshnov, “(q_1,q_2)-quasimetric spaces. Covering mappings and coincidence points. A review of the results”, Fixed Point Theory, 23:2 (2022), 473–486.

17. L.V. Ovsyannikov, Group Analysis of Differential Equations, Nauka Publ., Moscow, 1978 (In Russian).

18. M.M. Postnikov, Lie Groups and Lie Algebras. Lectures in Geometry. Semester V, Nauka Publ., Moscow, 1982 (In Russian).