В статье предложен универсальный подход построения методов Монте--Карло для вычисления цен опционов с выплатами, зависящими от совместного распределения конечного положения процесса Леви $X_T$ и его инфимума $\mathcal{I}_T$ (или супремума $\mathcal{S}_T$). Мы выводим приближенные формулы для условных функций распределения процесса Леви $\mathbf{P}(X_{T}<x|\mathcal{S}_{T}=y)$ ($\mathbf{P}(X_{T}<x|\mathcal{I}_{T}=y)$), которые выражаются через частную производную по $y$ функции совместного распределения $\mathbf{P}(X_{T}<x,\mathcal{S}_{T}<y)$ (\!$\mathbf{P}(X_{T}<x,\mathcal{I}_{T}<y)\!$) и плотности инфимума (или супремума) в конечный момент времени.
Применив преобразование Лапласа к функции совместного распределения процесса Леви и его экстремума, мы используем приближенную факторизацию Винера--Хопфа для представления образа ее частной производной. Обращая преобразование Лапласа с помощью алгоритма Гавера--Стехфеста, мы находим искомую условную функцию распределения. Разработанный алгоритм симуляции совместного положение процесса Леви и его экстремума в заданный момент времени состоит из двух ключевых этапов. На первом этапе мы симулируем значение экстремума процесса Леви на основе аппроксимации его функции распределения $\mathbf{P}(\mathcal{S}_{T}<x)$ (или $\mathbf{P}(\mathcal{I}_{T}<x)$). На втором этапе мы симулируем конечное значение процесса Леви на основе аппроксимации условной функции распределения конечного положения процесса Леви относительно его экстремума.
Универсальность разработанного нами метода Монте--Карло заключается в реализации единообразного подхода для широкого класса процессов Леви, в отличие от классических подходов, когда симуляции существенным образом опираются на особенности вероятностного распределения, связанного с моделируемым случайным процессом или его экстремумами. В нашем подходе достаточно знать характеристическую экспоненту  процесса Леви. Наиболее затратный по времени вычислительный блок по симуляции случайной величины на основе известной функции распределения может быть эффективно реализован с помощью нейросетей и ускорен за счет параллельных вычислений.  Таким образом, с одной стороны, предлагаемый нами подход подходит для широкого класса моделей Леви, с другой --- допускает комбинирование с~методами машинного обучения.

Доказано, что для 2-ступенчатой группы Карно $\Bbb D_n$  с горизонтальным распределением коранга $1,$ $\dim\Bbb D_n=n+1,$ минимальное число $N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}$ такое, что любые две точки $u,v\in\Bbb D_n$ можно соединить
базисной горизонтальной $k$-ломаной (ломаной, состоящей из $k$ звеньев) $L^{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}_k(u,v),$ $k\leq N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}},$ не превосходит $n+2.$ Построены примеры групп $\Bbb D_n,$ для которых $N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}=n+i,$ $i=1,2.$ Здесь $\mathcal{X}_{\Bbb D_n}=\{X_1,\ldots,X_n\}$~--- набор базисных левоинвариантных
горизонтальных векторных полей алгебры Ли группы $\Bbb D_n,$ а~звено ломаной $L^{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}_k(u,v)$ имеет вид $\exp(asX_i)(w),$ $s\in[0,s_0],$ $a=const.$

В статье рассматривается уравнение в частных производных вида относительно неизвестной функции определенной в области пространственных переменных и при Предлагается метод нахождения приближенного решения. Рассматриваемое уравнение заменяется приближенным за счет введения оператора сдвига позволяющего заменить на каждом шаге вычислений неизвестные значения функции в правой части значениями полученными на предыдущем шаге. Идея предлагаемого метода восходит к идее метода Тонелли, известного для дифференциальных уравнений относительно функций одной переменной (с обычными, а не частными производными). Достоинствами предлагаемого метода являются простота получаемого итерационного соотношения и возможности применений к широкому классу уравнений и краевых условий. В статье получены итерационные формулы решения краевой задачи с условием Дирихле по пространственным переменным и с начальным или с краевым условием по переменной На основании предложенного метода получено приближенное решение конкретной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в квадратной области.

Хотя основы теории позиционных дифференциальных игр систем с последействием, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ), были разработаны еще в 70-х годах ХХ столетия Н. Н. Красовским, Ю. С. Осиповым и А. В. Кряжимским, тем не менее, до сих пор нет работ, которые, аналогично [Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974, 457 с.] (далее по тексту [KC]), представляли бы «завершенную» теорию позиционных дифференциальных игр с последействием. В статье представлен подход конструктивного перенесения на системы с последействием всех результатов книги [KC]. Этот подход позволяет изложить теорию позиционных дифференциальных игр систем с последействием в такой же конструктивной и завершенной форме, как и для конечномерного случая в [КС]. Подход основан на методологии i-гладкого анализа. Получаемые в рамках такого подхода результаты теории позиционных дифференциальных игр систем с последействием полностью аналогичны соответствующим результатам конечномерной теории Красовского–Субботина.

Классическая задача Суслова о движении твердого тела с неподвижной точкой достаточно известна и подробно исследована. В данной работе предлагается омниколесная реализация задачи Суслова. Рассматривается управляемое движение твердого тела с неподвижной точкой в присутствии склерономных неголономных связей и реономной искусственной кинематической связи. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки, обкатывает изнутри сферическую оболочку и контактирует с ней посредством омниколес с дифференциальным приводом. Считаем, что омниколеса контактируют со сферической оболочкой только в одной точке. Чтобы подчинить движение твердого тела искусственной реономной связи, дифференциальный привод создает управляющие крутящие моменты на омниколесах. На основании принципа д’Aламбера–Лагранжа построены уравнения движения системы с неопределенными множителями, задающими реакции связей. Задача сводится к исследованию неавтономной двумерной динамической системы. С помощью преобразования Пуанкаре исследование двумерной динамической системы сводится к исследованию устойчивости однопараметрического семейства неподвижных точек для системы дифференциальных уравнений с вырожденной линейной частью. Определены числовые параметры системы, при которых фазовые траектории ограничены и при которых фазовые траектории неограничены. Результаты исследования проиллюстрированы графически. На основании численного интегрирования построены отображения за период (сечения Пуанкаре) и карта динамических режимов для подтверждения Фейгенбаумовского сценария перехода к хаотической динамике.

В статье рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой выделена главная нелинейная часть, являющаяся квазиоднородным отображением. Исследуется вопрос о существовании периодических решений. Рассмотрение квазиоднородного отображения позволяет обобщить ранее известные результаты о существовании периодических решений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейностью. Доказана априорная оценка периодических решений в предположении, что соответствующая невозмущенная система уравнений с квазиоднородной правой частью не имеет ненулевых ограниченных решений. В условиях априорной оценки получены следующие результаты: 1) доказана инвариантность существования периодических решений при непрерывном изменении (гомотопии) главной квазиоднородной нелинейной части; 2) решена задача гомотопической классификации двумерных квазиоднородных отображений, удовлетворяющих условиям априорной оценки; 3) доказан критерий существования периодических решений для двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной квазиоднородной нелинейностью.

Рассмотрено семейство комплексных операторных функций, область определения и область значений которых включены в вещественную банахову алгебру ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в банаховом пространстве комплексных векторов над полем вещественных чисел. Показано, что исследование данной функции из этого семейства сводится к изучению пары действительных операторных функций двух действительных операторных переменных. Рассмотрены основные элементарные функции данного семейства: степенная функция; экспонента; тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс; гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс; доказано основное свойство экспоненты. Получена комплексная операторная формула Эйлера. Найдены соотношения, выражающие синус и косинус через экспоненту. Для тригонометрических функций синус, косинус обоснованы формулы сложения. Доказана периодичность экспоненты, тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс; для этих функций указаны формулы приведения. Получено основное комплексное операторное тригонометрическое тождество. Найдены равенства, связывающие тригонометрические и гиперболические функции. Установлено основное комплексное операторное гиперболическое тождество. Для гиперболических функций синус, косинус указаны формулы сложения. В качестве примера элементарной функции из рассматриваемого семейства комплексных операторных функций приведена рациональная функция, частным случаем которой является характеристический операторный полином линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в вещественном банаховом пространстве.

Рассматриваются вопросы, связанные с реализацией множеств притяжения (МП) в абстрактных задачах о достижимости с ограничениями асимптотического характера (ОАХ). Исследуется возможность реализации МП с точностью до произвольной окрестности в классе замыканий множеств достижимости, отвечающих конкретным множествам семейства, порождающего ОАХ. Кроме того, рассматриваются некоторые соотношения для МП, порождаемых различными ОАХ (исследуются условия дизъюнктности МП). Общие конструкции окрестностной реализации МП были применены в случае, когда данные МП рассматривались в пространстве ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства (ИП). В частности, детально исследовался случай, когда ОАХ определяются посредством фильтра; для данного случая, при неограничительных условиях на исходное ИП, в виде МП реализуется множество всех у/ф, мажорирующих исходный фильтр. В данном случае (пространства у/ф) отдельно исследовались варианты оснащения множества у/ф топологиями стоуновского и волмэновского типов.