Метод приближенного решения уравнений в частных производных

В статье рассматривается уравнение в частных производных вида относительно неизвестной функции определенной в области пространственных переменных и при Предлагается метод нахождения приближенного решения. Рассматриваемое уравнение заменяется приближенным за счет введения оператора сдвига позволяющего заменить на каждом шаге вычислений неизвестные значения функции в правой части значениями полученными на предыдущем шаге. Идея предлагаемого метода восходит к идее метода Тонелли, известного для дифференциальных уравнений относительно функций одной переменной (с обычными, а не частными производными). Достоинствами предлагаемого метода являются простота получаемого итерационного соотношения и возможности применений к широкому классу уравнений и краевых условий. В статье получены итерационные формулы решения краевой задачи с условием Дирихле по пространственным переменным и с начальным или с краевым условием по переменной На основании предложенного метода получено приближенное решение конкретной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в квадратной области.

уравнение в частных производных, краевая задача, приближенное аналитическое решение, уравнение теплопроводности

1. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, Наука, М., 1981. [V. S. Vladimirov, Equations of Mathematical Physics, Nauka Publ., Moscow, 1981 (In Russian)].

2. М. М. Лаврентьев, О некоторых некорректных задачах математической физики, Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962. [M. M. Lavrent’ev, On Some Ill-Posed Problems of Mathematical Physics, Academy of Sciences Publ., Novosibirsk, 1962 (In Russian)].

3. Л. В. Канторович, В. И. Крылов, Методы приближенного решения уравнений в частных производных, ОНТИ НКТП СССР, Главная редакция общетехнической литературы, Ленинград–Москва, 1936. [L. V. Kantorovich, V. I. Krylov, Methods of Approximate Solution of Partial Differential Equations, ONTI NKTP USSR, Main editorial board of general technical literature, Leningrad–Moscow, 1936 (In Russian)].

4. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1979. [A. N. Tikhonov, V. Ya. Arsenin, Methods for Solving Ill-Posed Problems, Nauka Publ., Moscow, 1979 (In Russian)].

5. M. Joachimiak, “Choice of the regularization parameter for the Cauchy problem for the Laplace equation”, International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 30:10 (2020), 4475–4492.

6. Е. Б. Ланеев, А. В. Климишин, “О приближенном решении некорректно поставленной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической области с однородными условиями второго рода на боковой поверхности цилиндра”, Вестник российских университетов. Математика, 29:146 (2024), 164–175. [E. B. Laneev, A. V. Klimishin, “On an approximate solution to an ill-posed mixed boundary value problem for the Laplace equation in a cylindrical domain with homogeneous conditions of the second kind on the lateral surface of the cylinder”, Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 29:146 (2024), 164–175 (In Russian)].

7. В. Вазов, Дж. Форсайт, Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, Издательство иностранной литературы, М., 1963. [V. Vazov, J. Forsythe, Difference Methods for Solving Partial Differential Equations, Foreign Literature Publishing House, Moscow, 1963 (In Russian)].

8. А. В. Родионов, “Некоторые теоретико-числовые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных”, Чебышевский сб., 22:3 (2021), 256–297. [A. V. Rodionov, “Some number-theoretic methods for solving partial derivatives”, Chebyshevskii Sb., 22:3 (2021), 256–297 (In Russian)].

9. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов, Уравнения в частных производных математической физики, Высшая школа, М., 1970. [N. S. Koshlyakov, E. B. Gliner, M. M. Smirnov, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Vysshaya Shkola Publ., Moscow, 1970 (In Russian)].

10. В. В. Провоторов, М. А. Рыбаков, “Решение начально-краевой задачи в символьном виде”, Вестник российских университетов. Математика, 28:142 (2023), 203–212. [V. V. Provotorov, M. A. Rybakov, “Solution of the initial boundary value problem in symbolic form”, Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 28:142 (2023), 203–212 (In Russian)].

11. Т. В. Жуковская, Е. А. Молоканова, “Численные методы решения эволюционных функционально-дифференциальных уравнений”, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 17:5 (2012), 1352–1359. [T. V. Zhukovskaya, E. A. Molokanova, “Numerical methods for solution of evolutionary functional differential equations”, Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki = Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 17:5 (2012), 1352–1359 (In Russian)].