Исследование периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений с квазиоднородной нелинейностью

В статье рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой выделена главная нелинейная часть, являющаяся квазиоднородным отображением. Исследуется вопрос о существовании периодических решений. Рассмотрение квазиоднородного отображения позволяет обобщить ранее известные результаты о существовании периодических решений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейностью. Доказана априорная оценка периодических решений в предположении, что соответствующая невозмущенная система уравнений с квазиоднородной правой частью не имеет ненулевых ограниченных решений. В условиях априорной оценки получены следующие результаты: 1) доказана инвариантность существования периодических решений при непрерывном изменении (гомотопии) главной квазиоднородной нелинейной части; 2) решена задача гомотопической классификации двумерных квазиоднородных отображений, удовлетворяющих условиям априорной оценки; 3) доказан критерий существования периодических решений для двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной квазиоднородной нелинейностью.

квазиоднородная нелинейность, периодическое решение, априорная оценка, инвариантность существования периодических решений, вращение векторного поля

1. Э. Мухамадиев, “К теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений”, Докл. АН СССР, 194:3 (1970), 510–513; англ. пер.:E. Mukhamadiev, “On the theory of periodic solutions of systems of ordinary differential equations”, Sov. Math., Dokl., 11 (1970), 1236–1239.

2. Э. Мухамадиев, А. Н. Наимов, “О разрешимости периодической задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейностью”, Дифференциальные уравнения, 59:2 (2023), 280–282; англ. пер.:E. Mukhamadiev, A. N. Naimov, “On the solvability of a periodic problem for a system of ordinary differential equations with the main positive homogeneous nonlinearity”, Differential Equations, 59:2 (2023), 289–291.

3. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Геометрические методы нелинейного анализа, Наука, М., 1975. [M. A. Krasnosel’skiy, P. P. Zabreiko, Geometric Methods of Nonlinear Analysis, Nauka Publ., Moscow, 1975 (In Russian)].

4. Ж. Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Мир, М., 1972. [J. L. Lyons, Some Methods for Solving Nonlinear Boundary Value Problems, Nauka Publ., Moscow, 1972 (In Russian)].

5. В. Г. Звягин, С. В. Корнев, “Метод направляющих функций в задаче о существовании периодических решений дифференциальных уравнений”, Современная математика. Фундаментальные направления, 58:1 (2015), 59–81; англ. пер.:V. G. Zvyagin, S. V. Kornev, “Method of guiding functions for existence problems for periodic solutions of differential equations”, Journal of Mathematical Sciences, 233:4 (2018), 578–601.

6. А. И. Перов, В. К. Каверина, “Об одной задаче Владимира Ивановича Зубова”, Дифференциальные уравнения, 55:2 (2019), 269–272; англ. пер.:A. I. Perov, V. K. Kaverina, “On a problem posed by Vladimir Ivanovich Zubov”, Differential Equations, 55:2 (2019), 274–278.

7. Э. Мухамадиев, А. Н. Наимов, М. М. Кобилзода, “О разрешимости одного класса периодических задач на плоскости”, Дифференциальные уравнения, 57:2 (2021), 203–209; англ. пер.:E. Mukhamadiev, A. N. Naimov, M. M. Kobilzoda, “Solvability of a class of periodic problems on the plane”, Differential Equations, 57:2 (2021), 189–195.

8. Н. А. Бобылев, “О построении правильных направляющих функций”, Докл. АН СССР, 183:2 (1968), 265–266; англ. пер.:N. A. Bobylev, “The construction of regular guiding functions”, Sov. Math., Dokl., 9 (1968), 1353–1355.