Рассматриваются пологие упругие оболочки с заданной круговой границей. Ищется осесимметричная форма оболочки, которая максимизирует фундаментальную частоту колебаний при заданном весе оболочки. Выбор функционалов, рассмотренных при оптимальном проектировании, является частью постановок задач оптимизации. На этот выбор влияют многие обстоятельства: основное назначение конструкции, условия эксплуатации, свойства модели. Частота колебаний — одна из основных характеристик конструкции. Наиболее типичными в теории оптимального проектирования сжатых конструкций являются задачи максимизации критического значения $\omega_0$ ($\omega_0$ — минимальное из собственных частот) при заданном весе конструкции и задачи минимизации веса при ограничении $\omega_0\geq\mu,$ где $\mu$ — заданное число. В отличие от динамических задач оптимального проектирования, в которых ставятся ограничения не только на фундаментальную частоту, но и на высшие частоты, учет в задачах оптимального проектирования ограничений по устойчивости основан на рассмотрении только минимальных собственных значений. На~основе полученной кратности минимального собственного значения и дифференцируемости по Фреше того же функционала в настоящей работе получены необходимые условия оптимальности.

В статье доказывается гипотеза Римана для частного случая, когда действительная $\sigma$ и мнимая $T=1/(2a)$ части аргумента дзета-функции принадлежат определенной области $\Theta_R$ комплексной плоскости. В основу положен метод В. Блиновского: 1) выводится выражение для функции $L(\sigma,a)$ – квадрата модуля основной части дзета-функции, влияющей на ее нули, 2) доказательство гипотезы Римана сводится к доказательству выпуклости вниз функции $L$ по $\sigma,$ т. е. положительности $L_{\sigma\sigma}^{(2)}(\sigma,a).$ Авторами показаны оценки, позволяющие описать область $\Theta_R,$ приведены данные вычислительного эксперимента, проведенного в математическом пакете Maxima, по построению области $\Theta_R.$ Сделан обзор литературы по современному состоянию вопроса доказательства гипотезы. Предложено дальнейшее развитие метода как с точки зрения расширения области $\Theta_R,$ так и для повышения вычислительной эффективности.

В данной работе исследуется спектральная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с комплексным спектральным параметром при взвешенных интегральных краевых условиях, содержащих первые производные неизвестных функций. Для достаточно больших значений спектрального параметра получены априорные оценки решений системы и установлена фредгольмова разрешимость соответствующего оператора. Полученные результаты обобщают известные спектральные свойства и свойства разрешимости обыкновенных дифференциальных операторов с нелокальными интегральными условиями на случай связанных систем.

Статья посвящена способам ускорения сходимости вариантов метода Ньютона к особым решениям системы нелинейных уравнений. Для уравнений с гладкими отображениями литература, посвященная этим вопросам, весьма обширна. В частности, известно, что в естественных предположениях имеет место линейная сходимость базового метода Ньютона к особым решениям, с асимптотическим общим частным 1/2, из широких областей начальных точек. Используя специальный характер такой сходимости, ее можно в определенных смыслах ускорить за счет соответствующих модификаций базового метода Ньютона, а именно, процедур экстраполяции и оверрелаксации. Помимо обзора соответствующих теорий локальной сходимости, основные результаты работы состоят в распространении указанных алгоритмов и теорем об их локальной сходимости и скорости сходимости на кусочный метод Ньютона для уравнений с кусочно-гладким отображением. Важную роль при этом играют разработанные ранее конструкции, позволяющие охарактеризовать гладкие кусочные отображения, которые могут быть активными на итерациях методов. Статья также содержит результаты численного сравнения рассматриваемых способов ускорения кусочного метода Ньютона на кусочно-гладких переформулировках нелинейных комплементарных задач, включая некоторые иллюстративные примеры.

В данной работе исследуются методы стохастического приближения на основе конечных разностей для задачи минимизации квазивыпуклых функций. Традиционные подходы к задачам выпуклой оптимизации в основном опираются на использование точных или стохастических субградиентов. Однако во многих практических ситуациях доступна только зашумленная информация о значениях функции. В таких случаях рассматриваются стохастические квазиградиентные схемы, построенные на основе рандомизированных конечно-разностных оценок. В частности, изучаются пакетные двухточечные схемы, которые дают несмещенные приближения градиента сглаженной целевой функции. Для данных схем устанавливаются оценки дисперсии, что позволяет провести анализ сходимости проективных стохастических методов спуска.

В работе рассматривается задача минимизации функций вида $f(x)=\max_{i \in I} f_i(x),$ где каждая функция $f_i(x),$ $i \in I,$ является квазивыпуклой и имеет липшицев градиент на выпуклом компактном множестве. Основным результатом работы является получение оценок скорости сходимости стохастических конечно-разностных методов в случае квазивыпуклых функций. Показано, что ожидаемая субоптимальность убывает со скоростью $O\!\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right).$ Полученные результаты существенно расширяют область применения стохастических конечно-разностных методов к негладким задачам квазивыпуклой оптимизации и обеспечивают строгое теоретическое обоснование алгоритма в условиях «черного ящика», когда доступны только зашумленные оценки функции.

В работе представлено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение Вольтерра со слабо сингулярным временным перидинамический оператором. При выполнении соответствующих предположений относительно ядра и нелинейных членов устанавливается существование и единственность точного решения в подходящем банаховом пространстве с использованием метода неподвижной точки. Кроме того, предлагается согласованная дискретизационная схема и доказывается корректность соответствующей дискретной задачи. Сходимость численного приближения к точному решению строго анализируется и иллюстрируется численными экспериментами.

Рассматривается линейная двухкомпонентная система уравнений в частных производных реакция-диффузия на действительной оси, моделирующая обратимую химическую реакцию. Основное внимание уделено случаю различных коэффициентов диффузии, при котором операторы диффузии и реакции не коммутируют, однако, выполняется закон сохранения полной массы. Это исключает факторизацию решения и приводит к нетривиальной пространственно-временной динамике. С помощью преобразования Фурье задача сводится к семейству линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для сравнения приведено классическое факторизованное решение в случае равных коэффициентов диффузии, когда операторы коммутируют. Решение строится методом последовательных приближений Пикара для интегрального уравнения Вольтерра, который имеет высокую скорость сходимости, а его члены ряда допускают прозрачную физическую интерпретацию. Выражения для концентрации представлены в виде суммы прямого диффузионного вклада молекул, не претерпевших реакций и вклада молекул, прошедших определенную последовательность переходов между состояниями. Полученные формулы предоставляют эффективный инструмент как для качественного анализа пространственно-временной динамики, так и для количественных расчетов с контролируемой точностью в прикладных задачах химической кинетики, транспорта веществ.