Элементы аналитического конструктора решений в классе задач управления по быстродействию с целевым множеством с разрывной кривизной границы

Рассмотрена плоская задача управления по быстродействию с круговой индикатрисой и целевым множеством с гладкой границей, имеющей конечные разрывы производных второго порядка от координатных функций. Изучены псевдовершины - особые точки границы цели, порождающие сингулярность у функции оптимального результата. Для нестационарных псевдовершин с разрывной кривизной найдены односторонние маркеры, значения которых нужны при аналитическом и численном построении ветвей сингулярного множества. Доказано, что маркеры лежат на границе спектра - области возможных значений. Один из них равен нулю, другой принимает несобственное значение -∞ . При их вычислении применены асимптотические разложения нелинейного уравнения, выражающего условие трансверсальности. На основе маркеров также получены точные формулы крайних точек ветвей сингулярного множества. Предъявлен пример задачи управления, в котором найденных с помощью развиваемых методов конструктивных элементов (псевдовершины, ее маркеров и крайней точки сингулярного множества) оказывается достаточно, чтобы на всей области рассмотрения построить в явном аналитическом виде сингулярное множество и функцию оптимального результата.

быстродействие, функция оптимального результата, сингулярное множество, трансверсальность, уравнение Гамильтона-Якоби, биссектриса, минимаксное решение, диффеоморфизм

1. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961.

2. G. Leitmann, An Introduction to Optimal Control, McGraw-Hill, New York, 1966.

3. А. Брайсон, Ю-ши. Хо, Прикладная теория оптимального управления, Мир, М., 1972.

4. В. Г. Болтянский, Математические методы оптимального управления, Наука, М., 1969.

5. R. Bellman, Dynamic Programming, Princeton univ. press, New Jersey, 1957.

6. Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974.

7. А. И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации, Институт компьютерных технологий, Москва-Ижевск, 2003.

8. M. G. Crandall, P. L. Lions, "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", em Trans. Amer. Math.Soc, 277:1 (1983), 1-42.

9. P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, V. N. Ushakov, "Construction of a minimax solution for an eikonal-type equation", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 263:S2 (2008), 191-201.

10. J. W. Bruce, P. J. Giblin, Curves and singularities, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

11. В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки., 26:1 (2016), 95-120.

12. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Построение решения задачи управления по быстродействию при нарушении гладкости кривизны границы целевого множества”, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 53(2019), 98-114.

13. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:1 (2019), 108-119.

14. Th. Brocker, L. Lander, Differentiable Germs and Catastrophes, Cambrifge University Press, Cambridge, 1975.

15. В. М. Закалюкин, “Огибающие семейств волновых фронтов и теория управления”, Тр. МИАН, 209 (1995.), 133-142.

16. В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов, Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, Наука, М, 1990.

17. С. И. Дудов, “Дифференцируемость по направлениям функции расстояния”, Матем. Сборник, 186:3 (1995), 29-52.

18. A. A. Uspenskii, P.D. Lebedev, "Construction of the optimal outcome function for a time-optimal problem on the basis of a symmetry set", Automation and Remote Control, 70:7 (2009), 1132-1139.

19. А. А. Успенский, “Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в задаче Дирихле для уравнения эйконала”, Труды Института математики и механики, 21:1 (2015), 250-263.

20. А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, “Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества”, Вестник Удмуртского университета. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 28:1 (2018), 59-73.

21. A. A. Uspenskii, P. D. Lebedev, "On the set of limit values of local diffeomorhisms in wavefront evolution", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 272:S1 (2011), 255-270.

22. A. A. Uspenskii, "Calculation formulas for nonsmooth singularities of the optimal result function in a time-optimal problem", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 291:S1 (2015), 239-254.

23. Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Некоторые свойства чебышјвских множеств”, Докл. АН СССР, 118:1 (1958), 17-19.

24. А.Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1 (2016), 3-84.